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平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 PAGE 平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 一、知识精讲 1．平面向量的正交分解 把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 2．平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y使得a＝xi＋yj，则把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标．记作a＝(x，y)，此式叫做向量的坐标表示． (2)在直角坐标平面中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)． 3．平面向量的坐标运算 向量的 加、减法 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)．即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差) 实数与向量的积 若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 向量的 坐标 已知向量的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则 ＝(x2－x1，y2－y1)，即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标 4．两个向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a∥b?a＝λb?x1y2－x2y1＝0. [小问题·大思维] 1．与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？ 提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x,0)；与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)． 2．已知向量＝(－1，－2)，M点的坐标与的坐标有什么关系？ 提示：坐标相同但写法不同；＝(－1，－2)，而M(－1，－2)． 3．在基底确定的条件下，给定一个向量．它的坐标是唯一的一对实数，给定一对实数，它表示的向量是否唯一？ 提示：不唯一，以这对实数为坐标的向量有无穷多个，这些向量都是相等向量． 4．向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化吗？ 提示：不发生变化。向量确定以后，它的坐标就被唯一确定，所以向量在平移前后，其坐标不变． 5．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，是否有eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)成立？ 提示：不一定．由于eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)的意义与x1y2－x2y1＝0的意义不同，前者不允许x2和y2为零，而后者允许，当x1＝x2＝0，或y1＝y2＝0或x2＝y2＝0时，a∥b但eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)不成立． 二、典例精析 例1、如图所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标． 变式练习： 若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于 (　　) A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(3,2)b　　　 \f(1,2)a－eq \f(3,2)b \f(3,2)a－eq \f(1,2)b D．－eq \f(3,2)a＋eq \f(1,2)b 答案：B 例2、已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及＝＋t . (1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ (2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t值；若不能，说明理由． 保持例题条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？ 变式练习： 已知向量u＝(x，y)和向量v＝(y,2y－x)的对应关系用v＝f(u)表示． (1)若a＝(1,1)，b＝(1,0)，试求向量f(a)及f(b)的坐标． (2)求使f(c)＝(4,5)的向量c的坐标． 例3、已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行平行时它们是同向还是反向 保持例题条件不变，是否存在实数k，使a＋kb与3a－b平行？ 变式练习 已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线如果共线，它们的方向相同还是相反 例4、 (1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)， (1)求证：A，B，C三点共线； (2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？ 变式练习 设A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，与共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？ 例5、如图所示，已知点A(4,0)，B(4，4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标． 变式练习： 在△AOB中，已知点O(0,