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巧用向量方法解决最值问题 巧用向量方法解决最值问题 PAGE 巧用向量方法解决最值问题 巧用向量方法求解决最值问题 梁常东1 蒋晓云2 （1钦州师专数学与计算机科学系 广西 钦州 535000 2桂林师专数学与计算机科学系 广西 桂林 541001） 在中学数学中，对某些代数式的最值问题通常使用凑配技巧（如配方法）求解，现在高中数学增加了向量内容，我们使用向量方法求解最值问题，特别是一些无理式的最值问题，可以大大简化解题过程，提高解题效率，收到事半功倍的效果。 1 利用向量的数量积求最值 设向量，则的数量积为： ，从而有： ,当且仅当 （1） ,当且仅当 （2） 完全类似地，设向量，，则的数量积为： ，从而也有：,当且仅当； ，当且仅当。 在求解某些初等代数最值问题时，根据条件和结论的特点，将其转化为向量形式，利用向量的数量积，往往能避免繁杂的凑配技巧，使解答过程直观又易接受，下面举例说明： 例1设R+,且,求函数 的最小值。 解:设,由定义有： 从而 =,当且仅当同向,即 时取等号，所以当时，取得最小值20。 例2 设 且, 求函数y=的最小值。 解: 设,则 当且仅当同向时,即取等号，所以当时，y取得最小值。 例3 若,且，求 的最小值。 解：设 （*） 即， 当时，（*）后一个不等式取等号，这时刚好取得最小值。 2 利用向量的三角不等式求无理多项式的最值 向量三角不等式主要有以下四个: (1),当且仅当同向时取等号； (2),当且仅当反向时取等号； (3),当且仅当反向时取等号； (4),当且仅当同向时取等号。 利用这些不等式来求一类无理式的最值，常可以简化运算，收到事半功倍的效果。关键是注意它们在什么条件下等号成立。 例4 当为何值时，函数有最小值，并求出这个最小值。 分析：因函数含有无理式，利用凑配技巧来求最值比较麻烦，下面利用向量的数量积来求解。 解: 将函数变形为， 设， 则有=， 当且仅当反向，即时取等号；所以时，原函数的最小值为5。 例5 已知实数满足条件，求的最大值。 解: , 令 则 （**） 总有 当且仅当反向，即时（**）取等号，即当，时，有最大值为，且，这时=取到最大值。 例6 已知是小于1的数，求 的最小值。 分析: 因为，问题转化为如何设，使，且中不含，还要保证这4个向量同向，此时才能取等号。 解: 设 ,则 ,当时，上述4个向量同向，函数Z取得最小值为 。