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巧用累加式和累乘式解数列高考题 巧用累加式和累乘式解数列高考题 PAGE 巧用累加式和累乘式解数列高考题 巧用累加式和累乘式解数列高考题 湖北省广水市一中 刘才华　432700 数列中有两个常见的重要恒等式，累加式： 和累乘式：.运用它们可以求数列通项和证明数列与不等式的综合题.本文就这两个恒等式在解高考题中的应用举几例，算作是抛砖引玉. 一、累加式：＋ 求数列通项 例1 （2003年高考全国卷文科第22题） 已知数列满足， （≥）. （1）求； （2）求证：. 解（1）∵，， ∴，. （2） ∵， ∴（≥）. ∴ == =. 证明数列不等式 例2 （2005年高考湖北卷理科第22题（Ⅰ）） 已知不等式 ,其中为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列各项为正，且满足，≤， 证明： . 证明 ∵≤，又， ∴≥，即≥. 设=，则，∴≥（≥）. ∴ ≥ . 又，且（≥3）; ∴，即. ∴. 即（≥3）. 二、累乘式： 求数列通项 例3 （2000年高考全国卷理科第15题）是首项为1的正项数列，且 （）,则它的通项公式为________. 解 ∵， ∴. ∵，∴. ∴，即. ∴，即（≥2）. ∴==（≥2）. 又也满足上式，∴的通项公式为. 证明数列不等式 例4 （2005年高考辽宁理科卷19题（ = 1 \* ROMAN I））已知函数 设数列满足，，数列满足 . 证明： ≤. 证明 ∵，又， ∴，∴. 即. ∴. 又，∴. ∴. 又∵，=，∴≥. ∴≤. ∴≤（≥）. ∴ ≤ . 又∴； ∴≤，即≤. 例5 (2005高考重庆卷第22题) 数列满足，且（≥1）. (Ⅰ) 用数学归纳法证明：≥(≥); (Ⅱ) 已知不等式对成立，证明：（≥1），其中无理数 证明 (Ⅰ)（略） (Ⅱ) ∵由(Ⅰ)≥（≥），且， ∴， ∴. ∴. 由不等式对成立， ∴. ∴，即 ， ∴，则（≥2）, ∴, ∴ （≥）. 又=1, ∴（≥1）.