立体几何(向量法)—建系难.pdf

立体几何（向量法）—建系难 例 1 （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学 （理）试题 （含答案））如图 , 四棱锥 P ABCD 中 , PA 底面 ABCD , BC CD 2, AC 4, ACB ACD , F 为 PC 的中 3 点 , AF PB . (1) 求 PA 的长 ; (2) 求二面角 B AF D 的正弦值 . 【答案】 解：(1)如图，联结 BD 交 AC 于 O ，因为 BC ＝CD ，即△ BCD 为等腰三角形， 又 AC 平分∠ BCD ， → → → 故 AC ⊥BD .以 O 为坐标原点， OB ，OC ，AP 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立 π π 空间直角坐标系 O－xyz，则 OC ＝CDcos ＝ 1，而 AC ＝4，得 AO ＝AC －OC ＝3.又 OD ＝CD sin 3 3 ＝ 3，故 A (0 ，－ 3 ，0) ，B( 3 ，0， 0)， C(0 ， 1，0) ，D( － 3，0 ，0) ． z → 因 PA ⊥底面 ABCD ，可设 P(0 ，－3 ，z) ，由 F 为 PC 边中点， 得 F 0 ，－ 1， ，又AF ＝ 2 2 z → → → z 0，2， ，PB ＝( 3 ，3，－ z) ，因 AF ⊥ PB，故AF ·PB＝0，即 6－ ＝0 ，z＝2 3(舍去－ 2 2 2 → 3) ，所以 |PA |＝2 3. → → → (2) 由(1)知 AD ＝( － 3，3 ，0) ，AB ＝( 3， 3，0) ，AF ＝(0 ，2 ， 3) ．设平面 FAD 的法 向量为 ＝ (x ，y ，z ＝(x ，y ，z 1 1 1 1) ，平面 FAB 的法向量为 2 2 2 2)． → → 由 1 ·AD ＝0 ，1 AF· ＝0 ，得 － 3x ＋3y ＝0 ， 1 1 因此可取 1 ＝(3， 3 ，－ 2) ． ＋ 3z ＝0 ， 2y1 1 → → 由 2 ·AB ＝0 ，2 ·AF ＝0 ，得 3x ＋ 3y ＝0 ， 2 2 故可取 2 ＝(3 ，－ 3 ，2) ． 2y ＋ 3z ＝0 ， 2 2 从而向量 1 ，2 的夹角的余弦值为