（北师大版）2018-2019高中数学第一章立体几何初步1.4.2空间图形的公理（二）课件必修2.ppt

3．在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对． 解析　以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线． 答案　8 4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 异面直线A1B与AD1所成的角为________． 解析　连接BC1，A1C1，∵BC1∥AD1， ∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直 线A1B与BC1所成的角． 在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1， ∴∠A1BC1＝60°， 故异面直线A1B与AD1所成的角为60°. 答案　60° 5．如图，已知E，F，G，H分别是空间四 边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD. 证明　(1)在△ABD中， ∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴EH∥BD. 同理FG∥BD，则EH∥FG. 故E，F，G，H四点共面． (2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH. 又∵四边形EFGH是矩形， ∴EH⊥GH.故AC⊥BD. 课堂小结 1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法． 2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小． 作异面直线所成的角．可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线). 课前预习 课堂互动 课堂反馈 4．2　空间图形的公理(二) 学习目标　1.掌握公理4及等角定理(重点)；2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角(重、难点)． 知识点一　公理4 【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”) 　(1)公理4在平面内和空间中均成立． ( ) (2)多条直线平行于同一条直线，则这些直线互相平行．( ) √ √ 知识点二　空间等角定理 1．定理 文字语言 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′?∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2.推广 如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． 【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”) 　(1)如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行． ( ) (2)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等． ( ) (3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角互补． ( ) × √ × 知识点三　异面直线所成的角 1．概念：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角． 2．异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°. 3．如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b. 4．异面直线所成的角的求法 方法一　在空间任取一点O，过点O分别作a′∥a，b′∥b，则a′与b′所成的锐角(或直角)为异面直线a与b所成的角，然后通过解三角形等方法求角． 方法二　在其中一条直线上任取一点(如在b上任取一点)O，过点O作另一条直线的平行线(如过点O作a′∥a)，则两条直线相交所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角(如b与a′所成的角)，然后通过解三角形等方法求角(如图)． 【预习评价】 　(1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗？ 提示　(1)不一定．可能相交、平行或异面． (2)在长方体A1B1C1D1－ABCD中， BC1∥AD1，则“直线BC1与直线 BC所成的角”，与“直线AD1与 直线BC所成的角”是否相等？ 提示　相等． 题型一　公理4与等角定理的应用 【例1】　E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点，求证：四边形B1EDF是平行四边形． 证明　设Q是DD1的中点， 连接EQ，QC1.