课标版数学中考第二轮专题复习-4探索性问题.pdf

四、探索性问题 Ⅰ、综合问题精讲： 探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以 证明的题型．探索性问题一般有三种类型： （1）条件探索型问题； （2 ）结论探索型问题； （3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目； 结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题 目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索 发现某种数学关系是否存在的题目． 探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知 识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的 求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直 角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等 来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加 强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力． Ⅱ、典型例题剖析 【例 1】（ 2005，临沂）如图 2－6－1，已知抛物线的顶点为 A(O， 1) ，矩形 CDEF的顶点 C、F 在抛物线上， D、E 在 x 轴 上， CF交 y 轴于点 B(0 ，2) ，且其面积为 8 ． (1) 求此抛物线的解析式； (2) 如图 2－6 －2 ，若 P 点为抛物线上不同于 A 的一点， 连结 PB 并延长交抛物线于点 Q，过点 P、Q 分别作 x 轴的垂 线，垂足分别为 S、R． ①求证： PB＝PS； ②判断△ SBR的形状； ③试探索在线段 SR上是否存在点 M，使得以点 P、S、M为顶点的三角形和以点 Q、R、 M为顶点的三角形相似，若存在，请找出 M点的位置；若不存在，请说明理由． ⑴解 ：方法一：∵B 点坐标为 (0 ，2) ，∴OB＝ 2， ∵矩形 CDEF面积为 8，∴CF=4. ∴C 点坐标为 ( 一 2，2) ． F 点坐标为 (2 ，2) 。 2 设抛物线的解析式为 y ax bx c ． 其过三点 A(0 ， 1) ，C(-2 ．2) ，F(2 ，2) 。 1 x 1 得 2 4a 2b c 解得 a ,b 0, c 1 4 2 4a 2b c 1 2 ∴此抛物线的解析式为 y x 1 4 方法二 ：∵ B 点坐标为 (0 ，2) ，∴ OB＝2， ∵矩形 CDEF面积为 8， ∴CF=4. 1 / 15 四、探索性问题 ∴C 点坐标为 ( 一 2，2) 。 根据题意可设抛物线解析式为 y ax2 c 。 其过点 A(0 ， 1) 和 C(-2 ．2) 1 c 1 解得 a , c 1 2 4a c 4 1 2 此抛物线解析式为 y x 1 4 (2) 解： ①过点 B作 BN BS ，垂足为 N． ∵P 点在抛物线 y= 1 x2 +l 上．可设 P 点坐标为 (a , 1 a2 1) ．∴ PS＝ 1 a2 1 ，OB＝NS＝