离散习题(附答案)(7).pdf

第 7 章 习题解答 习题 7.1 1. 设 Z 是整数集合， Z 上的二元运算 * 定义为：a* b=ab+ 2(a+b+ 1)。证明代数系统 Z,* 是半群。 证明： 由于任意两个整数经加、减、乘运算后，其结果仍然是整数。所以运算 * 对于 是封闭的。 现证 * 是可结合运算。由于 (a* b) *c= (ab+2(a+b+ 1))* c = (ab+2(a+b+ 1))c+ 2(ab+2(a+b+ 1)+c+ 1) =abc+ 2ac+ 2bc+ 2c+ 2ab+ 4a+ 4b+ 2c+ 6 =abc+ 2(ab+bc+ca )+4( a+b+c )+6 a* (b* c) =a * (bc+2( b+c+ 1)) =a (bc+2( b+c+ 1))+ 2(a+bc +2( b+c+ 1)+ 1) =abc+ 2ab+ 2ac+ 2a+ 2a+ 2bc+ 4b+ 4c+ 6 =abc+ 2(ab+bc+ca )+4( a+b+c )+6 所以 (a* b)* c=a * (b* c)。由此证得 * 是可结合运算， Z ,* 是半群。 在证明 * 是可结合运算时，还可先把 * 的定义改写如下： a* b=ab+ 2(a+b+ 1)=ab+ 2a+ 2b+2=a (b+2)+2( b+2)- 2= (a+2)( b+2) - 2 从而有 (a* b)* c= ((a +2)( b+2) - 2) * c= ((( a +2)( b+2) - 2)+2)( c+2) - 2= (a +2)(b+2)( c +2)- 2 a* (b* c)=a * ((b +2)( c+2) - 2)= (a +2)((( b +2)(c+2) - 2)+2) - 2= (a +2)( b+2)( c +2) - 2 于是 (a* b)* c=a * (b* c)。 显然，上述证明方法，不仅简明清晰，而且可以对运算过程和运算结果有较好的把握 和预测，避免了盲目性。 2.写出独异点 A,* 的所有子独异点，其中 A= 1,2,3,4,5 ，a* b= max( a,b) 。 解： 对于 A 中任意元素 a ，都有 1* a=a * 1= max(a,1)=a 所以 1 是独异点 A,* 的幺元。 由于A ,* 的子独异点必须与 A,* 有相同的幺元， 因 此，A ,* 的所有子独异点分别为 1 ,* ， 1,2 ,* ， 1,3 ,* ， 1,4 ,* ， 1,5 ,* ， 1,2,3 ,* ， 1,2,4 ,* ， 1,2,5 ,* ， 1,3,4 ,* ， 1,3,5 ,* ， 1,4,5 ,* ， 1,2,3,4 ,* ， 1,2,3,5 ,* ， 1,2,4,5 ,* ， 1,3,4,5 ,* ，A ,* 。 本题的难度并不大，主要目的是通过本题进一步牢记：“子独异点必须与独异点有相 同的幺元”的要求。 3.在独异点 N10 ,×10 中，取其子集 A= 0,2,4,6,8 ，说明 A ,×10是独异点， 但不是 N10, ×10的子独异点。 解： 由于 A 是由 N10 中所有偶数作为元素构成的集合；任意两个偶数的乘积是偶数， 偶数被 10 除后，其余数必为小于 10 的偶数；由此可知，模