20版数学《高考专题辅导与训练》浙江专版：2.1.解答题 2.pptVIP

第2课时　 导数与零点及范围问题　 考向　利用导数研究函数的零点(方程的根) 【例1】(2019·慈溪一模)已知a∈R,函数 f(x)＝ex－ax① (e=2.718 28…是自然对数的底数). (1)若函数f(x)在区间(－e，－1)上是减函数②,求实数 a的取值范围. (2)若函数F(x)=f(x)-(ex-2ax+2ln x+a)在区间在区间 内无零点③,求实数a的最大值.世纪金榜导学号 【题眼直击】 题眼 思维导引 ① 想到求出函数的导数 ② 想到f′(x)在区间(-e,-1)上小于等于0恒成立 ③ 想到F(x)在区间 上是单调函数 【自主解答】 (1)由f(x)=ex-ax,得f′(x)=ex-a且f′(x)在R上递增. 若f(x)在区间(-e,-1)上是减函数,只需f′(x)≤0恒成 立. 因此只需f′(-1)=e-1-a≤0,解得a≥ . 又当a= 时,f′(x)=ex- ≤0当且仅当x=-1时取等 号. 所以实数a的取值范围是 . (2)方法一:由已知得F(x)=a(x-1)-2ln x,且F(1)=0, 则F′(x)=a- = = ,x0. ①当a≤0时,F′(x)0,F(x)在区间(0,+∞)上单调递减, 结合F(1)=0知,当x∈ 时,F(x)0. 所以F(x)在 内无零点. ②当a0时,令F′(x)=0,得x= . 若 ≥ 时,即a∈(0,4]时,F(x)在 上是减函数. 又x→0时,F(x)→+∞. 要使F(x)在 内无零点,只需 F =- -2ln ≥0,则0a≤4ln 2. 若 时,即a4时,则F(x)在 上是减函数,在 上是增函数. 所以F(x)min=F =2-a-2ln , 令φ(a)=2-a-2ln ,则φ′(a)=-1+ = 0. 所以φ(a)在(4,+∞)上是减函数,则φ(a)φ(4)= 2ln 2-20. 因此F 0,所以F(x)在x∈ 内一定有零点,不合题意,舍去. 综上,函数F(x)在 内无零点,应有a≤4ln 2,所以实数a的最大值为4ln 2. 方法二:当a≤0时,同方法一. 当a0时,x∈ ,F′(x)0;x∈ , F′(x)0. 所以F(x)在 上单调递减,在 上单调递增. 因此F(x)min=F . ①若 ≥1,即0a≤2时,F(x)在 内是减函数. 因此,当x∈ 时,F(x)F(1)=0, 所以F(x)在 内无零点. ②若 1,即a2时,F(x)min=F ≤F(1)=0. 要使函数F(x)在 内无零点, 只需F =- -2ln ≥0, 则2a≤4ln 2. 综上,函数F(x)在 内无零点,应有a≤4ln 2, 所以实数a的最大值是4ln 2. 【拓展提升】 1.三步求解函数零点(方程根)的个数问题 第一步:将问题转化为方程解的问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题; 第二步:利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图象; 第三步:结合图象求解. 2.根据函数零点情况求参数范围 (1)要注意端点的取舍. (2)选择恰当的分类标准进行讨论. 【变式训练】 (2018·全国卷II)已知函数f(x)=ex-ax2. (1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1. (2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a. 【解题指南】本题考查利用导数证明不等式和研究函数的零点,意在考查考生的化归与转化能力,分类讨论的思想运用以及求解能力. 【解析】(1)当a=1时,f(x)≥1等价于(x2+1)e-x-1≤0. 设函数g(x)=(x2+1)e-x-1,则g′(x)=-(x2-2x+1)e-x= -(x-1)2e-x. 当x≠1时,g′(x)0,所以g(x)在(0,1)和(1,+∞)上单调递减. 而g(0)=0,故当x≥0时,g(x)≤0,即f(x)≥1. (2)设函数h(x)=1-ax2e-x. f(x)在(0,+∞)上只有一个零点当且仅当h(x)在(0,+∞)上只有一个零点. (i)当a≤0时,h(x)0,h(x)没有零点; (ii)当a0时,h′(x)=ax(x-2)e-x. 当x∈(0,2)时,h′(x)0;当x∈(2,+∞)时,h′(x)0. 所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增. 故h(2)=1- 是h(x)在(0