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数字图像处理 第三章 图像的正交变换 第3章 图像的正交变换 3.1 图像变换基本概念 目的、要求和应用； 3.2 傅立叶变换； 3.3 图像的傅里叶变换 3.4 通用公式 3.5 DCT 3.6 沃尔什哈达玛变换 3.7 小波变换； 3.8 K-L变换 3.1 图像变换的基本概念 为何引入变换：能量保持，重新分配，能量集中； 低频分量：图像的概貌；（大部分能量） 高频分量：边缘轮廓部分；（少部分能量） 便于分析处理； 图像压缩编码、滤波增强、复原、特征提取及纹理分析等； 3.1 图像变换的基本概念 为何引入变换？ 3.1 图像变换的基本概念 图像处理中引入变换的处理方法及要求； 时域信号变换到频域，处理，后再回到时域； 正交变换是可逆的； 变换算法不可过于复杂，有快速算法； 如：傅立叶变换、离散余弦变换DCT等； 3.2 傅立叶变换 傅里叶变换； 一维、二维连续傅里叶变换； 一维、二维离散傅里叶变换； 3.2 傅立叶变换 令f(x)为实变量x的连续函数，f(x) 的傅立叶变换用F(u)表示； 已知F(u)，由傅立叶反变换求f(x)； 3.2 傅立叶变换 傅立叶变换F(u)通常是复函数； 3.2 傅立叶变换 如果f(x，y)是连续和可积的，且F(u，v)是可积的； 3.2 傅立叶变换 离散函数的傅立叶变换 对连续函数进行抽样得到一个序列； 3.2 傅立叶变换 一维离散函数的傅立叶变换 3.2 傅立叶变换 二维DFT 3.2 傅立叶变换 在数字图像处理中，图像一般取样为方形矩阵，即N×N，则其傅立叶变换及其逆变换为： 3.2 傅立叶变换 3.2 傅立叶变换 3.2 傅立叶变换 1、共轭表示： 对上式两边求共轭，得： 因此，逆变换可以通过正变换求出： 3.2 傅立叶变换 2、可分离性 ： 2、可分离性——FFT算法 3.2 傅立叶变换 3 旋转性 平面直角坐标改写成极坐标形式： 变量代换： 旋转 角度 3.2 傅立叶变换 旋转不变性； 3.2 傅立叶变换 4空间、频率平移性； 在空域中，图像原点平移到(x0，y0)时，其对应的频谱F(u,v)要乘上一个负的指数项 在频域中，原点平移到(u0，v0)时，其对应的f(x,y)要乘上一个正的指数项 3.2 傅立叶变换 由于右式成立： 即：当空域中f(x,y)产生移动时，在频域中只发生相移，而傅立叶变换的幅值不变； 反之，当频域中F(u,v)产生移动时，相应的f(x,y)在空域中也只发生相移，而幅值不变； 3.2 傅立叶变换 在图像处理中，利用频率平移性质，常将F(u,v)的原点移到N×N频域方阵的中心； 3.2 傅立叶变换 5 线性性质： 即： 3.2 傅立叶变换 6 平均值性质： 定义二维函数的平均值： u=0,v=0时： 即：若求二维离散信号f(x,y)的平均值，只需算出相应的傅立叶变换F(u,v)在原点的值F(0,0) 3.2 傅立叶变换 7 周期性： 8 共轭对称性： 3.2 傅立叶变换 9 卷积定理； 卷积前要进行周期延拓； 3.2 傅立叶变换 10 相关定理； 注意周期延拓； 3.3 图像的傅立叶变换 某个图像子块16×16的原始灰度数据； 3.3 图像的傅立叶变换 子块傅立叶变换的系数分布； 图像傅立叶变换的特性 统计特性； 均值：直流分量F（0，0）， , 即图像所有像素的平均亮度； 方差与协方差：图像对均值偏差的程度； 频谱特性； 中心位置较亮，代表平均亮度； 大部分分布在低频区，可据此进行压缩； 细节、边界等反映在高频分量； 图像的傅立叶变换频谱图 频谱的图象显示 谱图象加深对图象的视觉理解，如一幅遥感图象受正弦网纹的干扰，从谱图象中可看出干扰的空间频率并有效去除。 3.3 图像的傅立叶变换 频谱的频域移中； 傅里叶变换以零点为中心，导致谱图像最亮点在图像的四周边角，为符合正常习惯，将F(u，v）的零点移到显示屏中央位置； 傅立叶变换的低通滤波 傅立叶变换的高通滤波 基于Fourier变换的压缩示例 傅里叶变换用于图像增强 傅里叶变换用于图像增强 3.4 图像变换的通用公式 通用公式：用统一的表达式来表征各种变换； 两种方法表示： 解析式形式； 矩阵形式； 3.4 图像变换的通用公式 解析式通用公式； 正变换核A； 逆变换核B； 变换核为正交可分离的； 分解成行和列两个变换核的乘； 矩阵表示； 其中B和A满足； 傅立叶变换通用公式表示