圆中常用辅助线的画法.docx

圆中常用辅助线的添法 圆是初中数学重点内容，属中考必考内容，中考中有关圆的问题，大部分 需添辅助线解之，那么圆问题中常用的辅助线有哪些呢？现就圆中常用辅助线 的添法作一归纳，以期对同学们的学习有所帮助. 作弦心距. 在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心 距之间的关系定理及推论. 例1.如图，AE是。O的直径,P0丄AB交于P点，弦PN与AB相交于点M 求证：PI\?PN=2PO 分析：过0点作OE PN于C,根据垂经定理NC二PC要证 明Ph?PN=2P0即证明PMPC二P0,只需证明PWPC二P0 要证明PWPC二P0只需证明Rt△ POO RtA PMO. 证明：过圆心O作OCLPN于C,「. PC= -PN v POL AB, OCX PN ???/ MOP= OCP=90 . 又???/ OPC== MPO 二 Rt△ PO(ORt△ PMO. ?空 空 即? PO= PM?PC. ? PO= PM?-PN,二 PMPPN=2PO PM PO 2 作直径所对的圆周角 在解决有关直径的问题时，常常作直径所对的圆周角，以利用直径所对的圆周 角是直角的性质。 例2 如图，在△ ABC中，/ C=90，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆 交AB于点M交BC于点N. 求证：BA- BM=BC BN； 如果CM是O O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值. 分析：要证 BA- BM=BC BN需证△ ACB^A NMB而/ C=90° 所以需要厶NMB 中有个直角，而BN是圆0的直径，所以连结 MN可得/ BMN=90。 (1)证明：连结 MN 则/ BMN=90 =ZACB ???△ ACB^A NMB .BC AB …BM BN~ AB- BM=BC BN (2)解：连结 OM 则/ OMC=9° T N为OC中点 MN=ON=0M?/ MON=6° t OM=OB B=1 / MON=3° vZ ACB=90，二 AB=2AC二区 3=6 3、连结半径 圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如： “同圆的半径相等”和“圆的切 线垂直于过切点的半径”等都与圆的半径有关，连结半径是常用的方法之一 例3.已知：如图，△ ABC中, Z B=90°, O是AB上一点，以O为圆心，以 OB 为半径的圆切AC于 D点，交AB与E点，AD=2 AE=1. 求CD的长. 分析：D为切点，连结 DO则Z ODA=90 .根据切线长定理，有 CD=CB.DO=EO= 半径r，在Rt△ ADO中根据勾股定理或 Rt△ ADO~ R^ABC即可求出CD. 证明：连结 DO ?ODLAC于 D, ODA =90 . V AB过 O点，/ B=90° . ??? BC为O O 的切线，二 CD=CB 设 CD=CB=x,DO=EO=y 在 Rt△ ADO中, AO =AD?+ DCf, AD=2 AE=1 (1 y)2解得y= I在 (1 y)2 解得y= I 在 Rt△ ABC中, AC =AB2+ BC2,即(2+x) 2=(1+ y + y) 2 2 +X, x=3 ??? CD=3. 4、连结公共弦 在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把“钥匙”，常常可以打开相应的 在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把“钥匙” ，常常可以打开相应的 “锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦.”。 例4.已知：如图，O O和O C2相交于点A和B, OO的延长线交O OO于点C, CA CB的延长线分 别和O O相交于点 D E,求证：AD=BE. 分析：O O和O Q是相交的两圆，作公共弦 AB为辅助线. 证明：连结AB交QO于P点， V O O2 丄 A B 且 OQ 平分 AB ? CA=CB ? /ACPy BCP ???点O到线段AD BE的距离相等 ? AD=BE. 5、作连心线 两圆相交，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切，连心线必过切点 .通 过作两圆的连心线，可沟通圆心距、公共弦、两圆半径之间的关系 .因此，“已 知有两圆，常画连心线.”. 例5.已知：如图，O A和O B外切于P点，OA的半径为r, OB的半径为3r, CD 为。A、O B的外公切线，C D为切点，求：（1） CD的长；（2） CD与弧PD及弧 PC所围成的阴影部分的面积. 解：（1）连结 AB AC BD VO A和O B外切于P点，二AB过P点 TCD为O A、O B的外公切线，C、D为切点， ??? ACL CD BDL CD 过A点作AEL BD于 E,则四边形ACD助矩形. DE=AC= , BE=BD-DE=3r-r=2r 在 Rt△ AEB中, AB=AP+PB=r+3r=4, BE=2r AE= AB