文件高等代数教案第四章线性方程组f.pdf

第四章 线性方程组 一 综述 线性方程组是线性代数的主要内容之一 .本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题 ,即何时有 解、有解时如何求解、有解时解的个数 ,这在理论上是完美的 . 作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理） ,为解决这个问题 ,从中学熟知的消 元法入手 ,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换 ,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法 变换化为阶梯形（相应得同解方程组） ,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解 .为表述由此得到的 结果 ,引入了矩阵的秩的概念 ,用它来表述相容性定理 .其中实质上也看到了一般线性方程组有解时 ,也可 用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解 —— 用原方程组的系数及常数项表示解） .内容紧凑 ,方法具 体 .其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要 ,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法） . 线性方程组内容的处理方式很多 ,由于有至少五种表示形式 ,其中重要的是矩阵形式和线性形式 ,因 而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切； 本教材用前者 （矩阵）的有关问题讨论了有 解判定定理 ,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构 .实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题 , 在以后各章都与此有关 .另外 ,从教材内容处理上来讲 ,不如先讲矩阵及线性相关性 ,这样关于线性方程组 的四个问题便可同时讨论 . 二 要求 掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论 . 重点：线性方程组有解判别法 ,矩阵的秩的概念及求法 . 4.1 消元法 一 教学思考 本节通过具体例子分析解线性方程组的方法 —— 消元法 ,实质是作方程组的允许变换（同解变换） 化为标准形 ,由此得有无解及有解时的所有解 .其理论基础是线性方程组的允许变换 （换法、倍法、 消法） 是方程组的同解变换 .而从形式上看 ,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与 ,因而可用矩阵 （线 性方程组的增广矩阵）表述 ,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形 ,进而 化为标准阶梯形 ,其体现了线性代数的一种重要的思想方法 —— 标准化的方法 . 二 内容要求 主要分析消元法解线性方程组的过程与实质 ,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数） , 为下节作准备 ,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性 ,矩阵的初等变换和方程组的同解 变换间的关系 . 三 教学过程 1 1 x1 x 2 x3 1 2 3 5 1．引例： 解方程组 x1 x 2 3x 3 3 （1） 3 4 2x1 x2 5x3 2 3 定义： 我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换 ,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换