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椭圆的焦点三角形
一 知识梳理
定义： 椭圆 （双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形； 有一个角为直角的焦点
三角形叫焦点直角三角形。
性质一： 该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。所以周长为定值 2a+2c
2 2
性质二： 已知椭圆方程为 x 2 y2 1(a b 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角
a b
形 PF F 中 F PF ,则 S b2 tan .
1 2 1 2 F PF
1 2
2
y
证明：记 | PF | r ,| PF | r ， P
1 1 2 2
2 2
由椭圆的第一定义得 r1 r2 2a, (r1 r2 ) 4a .
F 1 O F2 x
在△ F PF 中，由余弦定理得： r 2 r 2 2r r cos (2c) 2 .
1 2 1 2 1 2
配方得： (r r )2 2r r 2r r cos 4c2 .
1 2 1 2 1 2
即 4a2 2r r (1 cos ) 4c2 .
1 2
2 2 2
2(a c ) 2b
r r .
1 2
1 cos 1 cos
由任意三角形的面积公式得：
2 sin cos
1 2 sin 2 2 2 2
S r r sin b b b tan
F PF 1 2 .
1 2
2 1 co
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