高考数学考点30异面直线所成的角试题解读与变式.pdf

考点 30： 异面直线所成的角 【考纲要求】 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题. 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 【命题规律】 异面直线的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计 2018 年的 高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题． 【典型高考试题变式】 （一）空间直线与直线夹角的问题 a b ABC 例 1. 【2017 全国 3 卷（理）】 ， 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 的 直角边AC a b AB AC 所在直线与 ， 都垂直，斜边 以直线 为旋转轴旋转，有下列结论： AB a 60 AB b 30 ①当直线 与 成 角时， 与 成 角； AB a 60 AB b 60 ②当直线 与 成 角时， 与 成 角； AB a 45 ③直线 与 所称角的最小值为 ； AB a 60 ④直线 与 所称角的最小值为 ； 其中正确的是________. （填写所有正确结论的编号） 【答案】② ③ 【解析】由题意知， ， ， 三条直线两两相互垂直，画出图形如图． a b AC 不妨设图中所示正方体边长为1，故 AC 1， AB  2 ， 边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则 A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径 C x y 的圆．以 为坐标原点，以CD为 轴正方向，CB为 轴正方向， z D(1,0,0) A(0,0,1) CA为 轴正方向建立空间直角坐标系．则 ， ， a a(0,1,0) a 1 (0,1,0) 直线 的方向单位向量 ， ．B点起始坐标为 ，     b b(1,0,0) b 1 B cos ,sin ,0 直线 的方向单位向量 ， ．设B点在运动过程中的坐标 ，  BC CD  [0,2π) 其中 与 的夹角， ． 那么 在运动过程中的向量    ， AB  2 ． AB AB (cos ,sin ,1) π a 60   当AB与 夹角 时，即 ， 3  1 2   ． sin  2cos  2cos  2  3 2 2 2 2 1 因