解析几何中的定值定点问题.pdf

解析几何中的定值定点问题 一、定点问题 x y2 2 3 【 1】．已知椭圆 ： 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 C  1(ab0) a b2 2 2 与直线xy 20相切． ⑴求椭圆C 的方程； ⑵设 ， 、 是椭圆 上关于 轴对称的任意两个不同的点，连结 交椭圆 于另一点 ，求 P(4, 0) M N C x PN C E 直线 的斜率的取值范围； PN ⑶在⑵的条件下，证明直线 与 轴相交于定点． ME x c 3 c a b 32 2 2 2 解：⑴由题意知e  ，所以e  2  ，即a 4b2 2 ，又因为b 1，所以 a 2 a2 a2 4 11 x2 a 4, b 12 2 ，故椭圆 的方程为 ： 2 ． C C y 1 4 ⑵由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为yk(x4) ① PN PN yk(x4)  联立x2 消去 得：y (4k 1)x 32k x4(16k 1)02 2 2 2 ，  y 12 4 由 2 2 2 2 得 2 ， (32k ) 4(4k 1)(64k 4)0 12k 10 又k0不合题意， 3 3 所以直线 的斜率的取值范围是 或 ． PN  k0 0k 6 6 y y ⑶设点N(x , y ), E(x , y )，则M(x , y )，直线 的方程为yy  2 1 (xx )， ME 1 1 2 2 1 1 2 x x 2 2 1 y (x x ) 2xx 4(x x ) 令y0，得xx  2 2 1 ，将y k(x 4), y k(x 4)代入整理，得x 1 2 1 2 ． ② 2 y y 1 1 2 2 x x 8