高等数学教案-第三章-微分中值定理与导数应用.pdf

高等数学 教案 授课章节 第三章 微分中值定理与导数应用 第一节微分中值定理 目的要求 方程根的存在及不等式证明 1 罗尔及拉格朗日中值定理 重点难点 2 方程根的存在及不等式证明 复习…………………………………………………………………………………3 分钟 第三章 微分中值定理与导数应用 第一节微分中值定理 一、罗尔定理 例1 费 马 定 理 ： f (x) 在 U(x , ) 内可 导 ， 且 xU(x , ) ， 有 0 0 f (x)()f (x )则有f (x )0 0 0 注：称使f (x)0 的点为驻点。 例2 罗尔定理：如果函数f (x)满足 （1） 在闭区间[a,b]上连续； （2） 在开区间（a,b）上可导； （3） f (a)f (b).    (a b) f ( )0 则在（a,b）内至少有一点 , 使 . 几何解释: 二、拉格朗日中值定理 1. 拉格朗日中值定理: 如果函数f (x)满足 （1） 在闭区间[a,b]上连续； （2） 在开区间（a,b）上可导.   则在（a,b）内至少有一点 (a b), 使等式  f (a)f (b)f ( )(ba) 成立. 几何解释: 注:1)当a b时, 上式也成立.      2) “ ”的记法: x x,(这里ax,bxx,0 1则 介于 a,b之间.)   3) f (xx)f (x)f (x x)x 第 次 第3-1页 教 案 课程名称：高等数学 编写时间：20 年 月 日 2. 定理:若函数f (x)在开区间（a, b）上满足f (x)0 , 则在闭区间[a, b]上 f (x)c(c为常数). ………………………………………………………………………………………42 分钟 3. 举例 x 例1 证明当x 0时,不等式 ln(1x)x成立. 1x (用拉格朗日中值法证明不等式的步骤:1确定函数f (x)的形式;2确定区间端点.) n1 n n n1 例2 证明当 ab0,n1时,不等式nb (ab)a b na (ab) 成立. 例3 证明不等式arctanaarctanb  ab 成立. (分别讨论等号与不等号成立时的情况) 例4 证明当x 1时,不等式e exx 成立. ab a ab 例5 证明当a0,b0时,不等式 ln  成立.