高阶线性微分方程常用解法介绍.pdf

高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非 线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。 下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. n n1 d x d x dx 讨论如下 n 阶线性微分方程： a(t)  a (t) a (t)xf (t) dtn 1 dtn1 n1 dt n （1），其中a(t) （i=1,2,3, ,n）及f(t)都是区间atb上的连续函数，如果 i n n1 d x d x dx f (t)0，则方程（1）变为 a(t)  a (t) a (t)x0 （2）， dtn 1 dtn1 n1 dt n 称为n阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n阶非齐次线性微分方程， 简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微 分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 n n1 d x d x dx L[x] a  a a x0,(3)其中a ,a a 为常数，称为n dtn 1 dtn1 n1 dt n 1 2 n 阶常系数齐次线性微分方程。    n t n1 t t d e d e de t t L[e ] a  a a e dtn 1 dtn1 n1 dt n  n n1 n1 t  t  ( a  a a )e F( )e F( ) 1 n1 n   n n1 n1  其中F( ) a  a a =0(4)是 的n次多项式. 1 n1 n 为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形     n