三角形的重心定理及其证明.pdf

三角形的重心定理及其证明 积石中学王有华 同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很 多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅 读后想一想，哪一种证明方法最好. A 已知：（如图）设 中，L、M、N分 VABC 别是 BC、CA、AB 的中点. N M 求证：AL、BM、CN相交于一点 G，且 G L C B AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2 ﹕1. D 图 1 证明 1（平面几何法）：（如图1）假设中 线 AL与 BM交于 G，而且假设 C与 G 的连线与AB边交于 N，首先来证明 N是 AB 的中点. 现在，延长 GL，并在延长线上取点 D，使 GL=LD 。 因为四边形 BDCG 的对角线互相平分，所以 BDCG 是平行 四边形.从而，BG∥DC，即GM∥DC.但 M 是 AC 的中点，因此， G 是 AD 的中点. 另一方面，GC∥BD，即NG∥BD.但 G 是 AD 的中点，因此 N 是 AB 的中点. 另外，G 是 AD 的中点，因此AG ﹕GL=2 ﹕1.同理可证： BG ﹕GM=2 ﹕1， CG ﹕GN=2 ﹕1. 这个点 G 被叫做VABC 的重心. 证明 2 （向量法）：（如图2）在VABC 中，设AB边上的中 1 线为 CN，AC边上的中线为 BM，其交点为 A G，边 BC 的中点为 L，连接 AG和 GL，因 为 B、G、M三点共线，且 M是 AC 的中点， N G M 所以向量uuur uuuur 所以，存在实数 ，使得 BG ∥BM ， uuur uuuur 1 B C uuur uuur uuuur uuur L  BG BM 即  ， AGAB (AM AB) uuur uuuur1 uuur1 图2 所以，   AG AM (1 )AB 1 1 1 uuur uuur =   AC(1 )AB 2 1 1 同理，因为 C、G、N三点共线，且 N是 AB 的中点. 所 uuur uuur uuur 以存在实数 ，使得 