三棱锥的体积.pdf

锥体的体积 教学重点和难点 三棱锥体积公式及其探求． 教学设计过程 （一）复习三个问题（学生口答） 1．锥体平行于底面的截面的性质 2．祖暅原理 3．柱体的体积公式及探求思路 （二）学生探求锥体体积公式 1．底面积是S，高是h 的柱体体积公式的探求思路？ 构造一个与所给柱体等底面积等高的长方体，由祖暅原理知，它们的体积相等，所以 V =Sh． 柱体 2．等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢？ 用祖暅原理．设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个四棱锥，并设它们的底面积 都是S，高都是h （如图1）．①把这两个锥体的底面放在同一个平面α 上，由于它们的高相 等，故它们的顶点必在与α 平行的同一个平面β 上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α ，β 之间；②用平行于平面α 的任意平面去截这两个锥体，设截面面积分别为S，S，截面和顶点 1 2 的距离是h，体积分别 1 h 图1 由祖暅原理知：V=V ．（生叙述师板书） 1 2 可以叙述为：等底面积等高的两个锥体的体积相等． 3．如何求出锥体的体积？ 怎样研究三棱锥的体积呢？ （板书：三棱锥的体积，并作出一个底面积为S的，高为h 的三棱锥A＇－ABC，（如图2） （1）补成三棱柱，把三棱锥A＇－ABC 以底面△ABC为底面，AA＇为侧棱补成个三棱柱ABC －A＇B＇C＇． （2）分割成三个三棱锥．（补形过程及分割过程由学生完成） 怎样证明这三个三棱锥1，2，3等体积呢？ （学生思考两个锥体等体积的依据——前面定理的条件：（1）等底面积，（2）等高） 在三棱锥1，2中，S△ =S ，又由于它们有相同顶点C，故高也相等，所以V=V ．又 ABA＇ △B＇A＇B 1 2 在三棱锥2，3中，S =S ，它们有相同顶点A＇，故高也相等．所以V=V，所以V=V=V ． △BCB＇ △B＇C＇C 2 3 1 2 3 一般锥体的体积又如何呢？ （设一般锥体的底面积为S，高为h） 构造一个三棱锥，使其底面积为S，高为h，由于等底面积 （三）锥体体积公式的简单应用 例 1、如图7，在正方体ABCD－A＇B＇C＇D＇中，已知棱长为 a， 求：（1）三棱锥B＇－ABC 的体积； （2）这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几； （3）B到平面AB＇C 的距离？ 分析（3）：注意到三棱锥B－AB＇C与三棱锥B＇－ABC是同一个三棱锥． S 也易求，这样h 即可求出． △AB＇C 巧用了三棱锥的体积，使问题的求解变得十分简捷．这种方法称作顶点转换法，有时也 称作等积转换法． 例2、直三棱锥ABC-A B C 的各侧棱和底面边长均为a，点D是棱CC 上任意一点，求 1 1 1 1 三棱锥A -ABD的体积。1 例3、如图有一个底面边长为3、4、5，高为8的直三棱柱形水箱，在棱AA 上的D、CC 1 1 上的E处分别有漏洞，测得AD=6、CE=4，利用此水箱盛水（可以任意放置），最多能盛多 少水？ A