1-1一维布劳维尔不动点.docxVIP

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1-1一维布劳维尔不动点 1.一维的布劳威尔不动点定理 不需要任何高深的数学知识,仅凭常识就可判明以下这个最基本的最简单的不动点定理: 定理1.1 设f(x)是定义在[0,1]上的连续函数,且满足0≤f(x)≤1,则必存在x0∈[0,1],使f(x0)=x0. 证 作函数 F(x)=f(x)-x.如F(0)=0或F(1)=0,则0或1即为定理要求的x0,定理已成立(此时将有f(0)=0或f(1)=1).由条件 0≤f(x)≤1知 F(0)=f(0)≥0,F(1)=f(1)-1≤0.故只需再在F(0)>0和F(1)<0的情形下证明定理. 由于f(x)是连续函数,故F(x)也是连续函数.因此当x由0出发变到1时,F(x)将从正值F(0)连续地变到负值F(1),所以必至少有一点x0,使F(x0)=0*.这正是f(x0)=x0. 现在我们对这一定理作些说明. (1)一个将某集A映到自身中的映射称为自映射.定理1.1中的f是集合[0,1]上的自映射. 个不动点.不动点不必唯一,如图1.1中就画了三个. (3)本书中我们主要观察欧氏空间,数轴是一维欧氏空间R1,数轴上的点可和全体实数一一对应.数轴上两点A和B的距离定义为与这两点对应实数a和b之差的绝对值: d(A,B)=|a-b|. 具有笛卡儿直角坐标的平面,是二维欧氏空间R2.平面上的点P和一对有序坐标(x,y)一一对应.平面上两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的加法、数乘和距离分别定义为 (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) 称为f在A中的一 λ(x,y)(λx,λy)λ是实数 同样可定义三维欧氏空间.它由三元有序数组(x,y,z)组成,和平面上类似地定义加法、数乘和距离. 一般地,我们定义n维欧氏空间Rn如下: Rn由n元有序数组(a1,a2,…,an)所组成,其中的加法,数乘和距离分别定义为 A+B=(a1,a2,…,an)+(b1,b2,…,bn) =(a1+b1,a2+b2,…,an+bn). λA=λ(a1,a2,…,an) =(λa1,λa2,…,λan) 其中A=(a1,a2,…,an),B=(b1,b2,…,bn). 相当于向量的平面四边形加法及向量的放大.而点间距离,即相应向量之差的长度.向量的乘法在这里不予讨论. (4)Rn中的单位球是指{x∈Rn:d(0,x)≤1},记为Bn,它的边界 (5)定理1.1中的闭区间[0,1]可改为[-1,1],结论及证法均可不变.这时定理1.1可说成: R1中单位球B1上的任何连续自映射必有不动点. (6)定理1.1的证明中,有一处用了连续函数的性质,它的详细说明请见下一节. 感谢您的阅读,祝您生活愉快。

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