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第三讲 一元二次方程的综合 第三讲 一元二次方程的综合 一、填空题 1. 三角形三边的长是3和4，第三边的长是方程x?12x?35?0的根，则此三角形的周长为________. 2. 某商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是___________. 3. 若方程2x(x?3)?1的两根分别为x1、则x1?x2=_______, x1x2=________，x2，x1x2?x1x2=____ x1?x2=_________, =__________ x1x24. 若方程x?4x?c?0的一个根为2?3，则方程的另一根为___________. 5. 已知方程x?3x?5?0的两个根为x1、x2，则x1?x2=__________. 6. 已知?、?是方程x?2x?5?0的两个实数根，则?2????2?的值为___________. 7. 若关于x的一元二次方程2x?2x?3m?1?0的两个实数根为x1、x2，且x1x2?x1?x2?4，则实数m的取值范围是_____________. 8. 已知关于x的一元二次方程x?mx?2m?1?0的两个实数根的平方和为23，则m的值为_______. 9. 已知关于x的方程x?3x?m?0的一个根是另一根的2倍，则m的值为___________. 10. 在Rt△ABC中，∠C=90°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程 2222222x2?7x?c?7?0的两根，那么AB边上的中线长为__________. 11. 设x1、x2是一元二次方程x?4x?3?0的两个根，2x1(x2?5x2?3)?a?2，则a?________. 二、解答题 12. ．已知关于x的一元二次方程x?(2m?1)x?m?m?0 .（m?0) （1）证明不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根； 2222x2（2）设方程的两个实数根分别为x1，（其中x1x2），若y是关于m的函数，且y?1?结合函数的图象回答：当自变量m的取值满足什么条件时，y ≤2． 1 x2，x113. 给出一个定义：如果两个二次项系数为1的一元二次方程有一个相等的实数根，并且另外两个根互为相反数，那么这两个一元二次方程称为“友好方程”．例如：方程x2?2x?3?0的两个根为x1??1，x2?3；方程x2?4x?3?0的两个根为x1??1，x2??3，则方程x2?2x?3?0与x2?4x?3?0就是“友好方程”． ⑴ 请你写出方程x2?2x?8?0的“友好方程”； ⑵ 若关于x的一元二次方程x2??b?1?x?b?0与x2?cx?c?1?0是“友好方程”，求c的 值； ⑶ 请写出一个方程与其“友好方程”之间存在的关系（写出两种即可）． 14. 关于x的一元二次方程(x?2)(x?3)?m有两个实数根x1、x2， （1）求m的取值范围； （2）若x1、x2满足等式x1x2－x1－x2+1=0，求m的值. 15. 已知一元二次方程(m?1)x2?2mx?m?3?0有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数， （1）求m的值 （2）当m在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为x1、x2，求3x1(1?4x2)的值. 2 216. 如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BDE的三边长，易知AE=2c，这时我们把形如ax?2cx?b?0的方程称为关于x的“勾系一元二次方程” 请解决下列问题： （1） 构造一个“勾系一元二次方程”：__________________________ （2） 证明：关于x的“勾系一元二次方程”ax?2cx?b?0必有实数根； （3） 若x??1是“勾系一元二次方程” ax?2cx?b?0的一个根，且四边形ACDE的周长 是62，求△ABC的面积. 2cAbCaccaDE222Bb 17. 问题：已知方程x?x?3?0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍 解：设所求方程的根为y，则y?2x，所以x?222yyy2y，把x?代入已知方程，得()??3?0 2222 化简，得y?2y?12?0，故所求方程为y?2y?12?0，这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法” 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所有方程化为一般形式） （1） 已知方