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2 2
,则椭圆 5
第 32 练 直线与圆锥曲线的综合问题
[题型分析 高· 考展望 ] 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题, 从近几年的高考试题来看,
除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外,在填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线
结合起来 . 本部分的主要特点是运算量大、 思维难度较高, 但有时灵活地借助几何性质来分析问题
可能会收到事半功倍的效果 .预测在今后高考中, 主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题,有
时会与向量的共线、模和数量积等联系起来;对于方程的求解,不要忽视轨迹的求解形式,后面
的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查,探索类和存在性问题考查的概率也很高 .
常考题型精析
题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用
例 1 (1)(2015 福· 建改编 )已知椭圆 E: + = 1(a>b> 0)的右焦点为 F,短轴的一个端点为 M,
直线 l: 3x -4y= 0 交椭圆 E 于 A, B 两点 .若 AF +BF =4,点 M 到直线 l 的距离不小于 4
E 的离心率的取值范围是 ________________.
(2) 设焦点在 x 轴上的椭圆 M 的方程为 + 2 =1 (b0),其离心率为
①求椭圆 M 的方程;
②若直线 l 过点 P(0,4) ,则直线 l 何时与椭圆 M 相交?
2
2 .
点评 对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题,一是利用方程的根的判别式来确定,但
一定要注意,利用判别式的前提是二次项系数不为零;二是利用图形来处理和理解;三是直线过
定点位置不同,导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同 .
变式训练 1 已知椭圆 C: + =1(ab0) 的焦距为 4,且过点 P( 2, 3).
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 设 Q(x0, y0)(x0y0≠0)为椭圆 C 上一点,过点 Q 作 x 轴的垂线,垂足为 E .取点 A (0,2 2),连结 AE,过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D . 点 G 是点 D 关于 y 轴的对称点,作直线 QG,问这样作出
的直线 QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点?并说明理由 .
题型二 直线与圆锥曲线的弦的问题
例 2 设椭圆 C: + = 1 ( ab0) 的左,右焦点分别为 F1, F2 ,且焦距为 6,点 P 是椭圆短轴的
一个端点,△ PF 1F2 的周长为 16.
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) 求过点 (3,0) 且斜率为 的直线 l 被椭圆 C 所截得的线段中点的坐标 .
点评 直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程, 弦长, 弦的位置确定, 弦中点坐标轨迹等问题,
解决这些问题的总体思路是设相关量,找等量关系,利用几何性质列方程
一元二次方程根与系数的关系,使问题解决 .
(组),不等式 (组)或利用
变式训练 2 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为
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6
2 .
2
2,离心率为
(1) 求椭圆 C 的方程;
(2) A, B 为椭圆 C 上满足△ AOB 的面积为 4 的任意两点, E 为线段 AB 的中点, 射线 OE 交椭圆 C
→ →于点 P.设 OP =tOE ,求实数 t 的值
→ →
高考题型精练
1.(2015 北·京 )已知椭圆 C: x2 +3y2= 3,过点 D(1,0) 且不过点 E(2,1) 的直线与椭圆 C 交于 A, B 两 点,直线 AE 与直线 x= 3 交于点 M .
(1) 求椭圆 C 的离心率;
(2) 若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率;
(3) 试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由 .
2.如图,已知抛物线 C 的顶点为 O(0, 0),焦点为 F(0,1).
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3 2
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