高中简单立体几何体(附例题详解).docx

高中简单立体几何体 (附例题详解 ) 2. 简单几何体 知识网络 简单几何体结构简图 画龙点晴 概念 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所 围成的几何体称为棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面 叫做棱柱的侧棱 , 侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点 的对角线 , 两个底面的距离叫做棱柱的高 . 棱柱的分类 : 按侧棱与底面的关系 , 棱柱可分为 : 斜棱柱 : 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱 . 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱 . , 其余各面叫做棱柱的侧面 , 两个侧面的公共边 . 不在同一个平面上的两个顶点的连线叫做棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱 . 按底面的多边形的边数可分为 : 底面是三角形、四边形、五边形 …… 我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四 棱柱、五棱柱 …… 棱柱的表示法 : 棱柱用表示底面各顶点的字母表示 , 或者用棱柱对角线的两个端点的字母表示 , 如五棱柱 可表示为 : 棱柱 , 或棱柱 . 棱柱的性质： (1) 侧棱都相等 , 侧面都是平行四边形； (2) 两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形； (3) 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形； 直棱柱的性质 : 直棱柱的侧棱长和高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。 平行六面体 : 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体 . 长方体 : 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体 , 长方体的一条对角线长的平方和等于一个顶点上三条棱 的长的平方和 . 正方体 : 棱长都相等的长方体叫做正方体 . 公式 棱柱的侧面积和全面积 : 直棱柱的侧面积等于它的底面周长 面积等于它的直截面 (垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面 即 S斜棱柱侧 C1 l , 棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和 [活用实例 ] [例1] 如图，在平行六面体 1B1C1D1中，已知 5， 4， 1=3， ， (1) 求证 : 顶点 A1在底面的射影 O在∠的平分线上 ; (2) 求这个平行六面体的表面积 . C 与高 h 的乘积 , 即 S直棱柱 Ch 斜棱柱的侧 )的周长 C 1 与侧棱长 l 的乘积 , . A1 1 ， 3 1 / 10 AB BC AB BC 4 3 12 13 5 高中简单立体几何体 (附例题详解 ) [ 题解 ](1) 如图 , 连结 A1O, 则A1O⊥底面 . 作⊥交于 M,作⊥交于 N, 连结 A11N. 由三垂线定理得 A1M⊥ 1N⊥ . ∵ ∠A1∠A1, ∴ △A1≌△A1 . ∴ A11N. ∴ . ∴ 点O在∠的平分线上 . (2) AM AA1 cos 3 1 3 , 3 2 2 3 AN 2 侧面 1和侧面 1 的面积都等于 4 又 ， 两底面面积都等于 4 3 =6, 侧面 1和侧面 1的面积都等于 2 5=20， 平行六面体的表面积为 3 5 =7.5, 2 2 （6+7.5） +20=47. [例2] 如图 1B1C1是直三棱柱 , 过点 A1、 B、 C1的平面和平面的交线记作 l . (1) 判定直线 A1C1 和 l 的位置关系 , 并加以证明 ; (2) 若A1143, ∠90° , 求顶点 A1到直线 l 的距离 . [ 题解 ](1) 根据棱柱的定义知平面 A1B1C1和平面平行 . 由题设知直线 A1C1=平面 A1B1C1 ∩平面 A11 , 直线 l =平面 A11 ∩平面 . 根据两平面平行的性质定理有 l ∥A1C1 . (2) 解法一 : 过点 A1作A1 E⊥ l 于E, 则A1E的长为点 A1到 l 的距离 . 连结 . 由直棱柱的定义知 A1A⊥平面 . ∴ 直线是直线 A1 E在平面上的射影 . 又 l 在平面上 , 根据三