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圆系方程的简单应用 一种不求交点求方程的思路 首先，我们来看精炼上的一道题目： 由点P（3,2）引圆x^2+y^2=4的两条切线PA，PB，A，B为切点，求直线AB的方程。 这道题，第一次看到大致思路是这样的：设直线为k(x-3)=y-2，然后直线到圆心的距离为圆的半径2。这样求出两交点后，再解出直线。这也是最容易想到，也是一般的方法。然而，精炼后给的解答却是十分巧妙的：设A(x1,y1),B(x2,y2)，因为圆的切线方程为x0x+y0y=r^2。P点，A点代入得到：3x1+2y1=4;P点,B点代入得到：3x2+2y2=4。显然，这是同一条直线！于是直线a，b的方程即3x+2y=4。 这种不求交点，而是巧妙利用交点所在直线来简化思维与运算的方法，正是本文章着重讨论的。 再来看一道题：求经过直线2x+y+4=0和圆x^2+y^2+2x-4y+1=0的两个交点，并且面积最小的圆的方程。 首先，我建议大家可以自己做一下，因为这题并不算很难。自己尝试一下可以更好的理解接下来的内容。 仍然先介绍一般的方法：两方程联立，求出交点。因为面积最小，易知圆心正是在两交点连线的中点。算出圆心后再算出半径，得出方程。自己尝试过此方法的同学可以体会到，其中的运算若没有计算器辅助还是略显复杂的。下面介绍不计算交点的解法。 首先，我们要说明一个类似“废话”的定理：若(m,n)同时满足方程f(x,y)=0与g(x,y)=0，那么(m,n)满足f(x,y)+k* g(x,y)=0（你可以在精练的43页找到它）。有了这一条定理，我们可以做如下的假设： 设所求方程为x^2+y^2+2x-4y+1+a(2x+y+4)=0,经过一定的配方和化简，可以得到：r^2=(a+1)^2+((a-4)/2)^2-4a-1,进一步化简，得到r^2=(5a^2)/4-4a+4,利用对称轴，可以得出r取得最小值时，a=8/5,代入假设的方程本题就完成了（当然你还可以再化简一下,最后答案为5x^2+5y^2+26x-12y+37=0）。 像这样假设方程的方法是非常好用的。或许对于此题，该解法的优势并不是过于明显。但假如将直线或者圆的方程的数据稍加修改，那么联立方程求交点的解法会复杂许多，而不求交点的方法的计算量却依旧不变。 为了更好掌握该方法，我们再来看一题： 求经过直线x+2y-3=0和圆x^2+y^2-2x=0的两个交点，并且圆心在y轴上的圆的方程。 还是建议大家自己先试试再接着往下看。 好，现在假设大家已经做过一遍了。一般方法实在懒得再说了：联立求交点，算出圆心，算出半径，写出方程。不过呢，不知道大家发现没有，不求交点的方法这次可是能一步出答案的。 设方程为x^2+y^2-2x+a(x+2y-3)=0 因为圆心过y轴，所以x的一次项系数必定为0，解得a=2，所以圆的方程就是x^2+y^2+4y-6=0 当然啦，没想到这个方法的同学也不用在意。考试时候除了实力，拼的还有心态，平时作业能想出巧妙的方法，考试时就未必了。总之，平时的练习要追求一题多解，多找找方法。考试时仔细审题，在一定尝试的基础上，能找到好的方法必然是事半功倍。当然，对于考试，无论是否巧妙，只要能做出来的方法都可以接受啦。 最后留两道练习，大家可以分别使用两种方法解题，来对比不求交点解法的优越性。 练习 1求经过圆x^2+y^2=4与x^2+y^2-6x=0的两个交点，并过点M(2,-2)的圆的方程。 2求半径为√13，且过两圆x^2+y^2-x+y-2=0,x^2+y^2=5的交点的圆的方程。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。