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复数与复变函数 第一章、复数与复变函数 1.1知识提要 1.复数的概念 形如z?x?iy的数称为复数，其中x,y为任意实数，i(i2??1)称为虚单位，x,y又称为 z的实部与虚部，记为x?Re(z),y?Im(z). z?x?iy与直角坐标系平面上的点(x,y)成一一对应，平面称复平面.z?x2?y2表示 复数z的向量的长度，称复数的模.Argz???Arctan(y/x)称为z的辐角，表示z的向量与x轴正向间的交角的弧度数.其中满足??????的?0称为辐角z的主值，记作 ?0?arcz. 2.复数的各种表示法 （1）复数z?x?iy可用复平面上点(x,y)表示。 （2）复数z?x?iy可用从原点指向点(x,y)的平面向量表示. （3）复数的三角表达式为z?r(cos??isin?)，其中r?z,?为z?0时任一辐角值. （4）复数的指数表达式为z?re。 （5）复数的复球面表示.任取一与复平面切于原点的球面，原点称球面的南极，过原点且垂直平面的直线与球面的交点称为球面的北极，连接平面上任一点与球面北极的直线段与球面有一个交点，又在平面上引入一个假想点?与球面北极对应，构成扩充复平面与球面点的一一对应，即复数与球面上点的一一对应.球面称为复球面. 3.复数的代数运算（z1,z2不为零） （1）z1?z2当且仅当两复数实部与虚部分别相等。 （2）z?0,当且仅当z的实部与虚部同时为0. （3）z1?x1?iy1,z2?x2?iy2,则z1?z2?(x1?x2)?i(y1?y2). i?（4）z1z2?(x1x2?y1y2)?i(x2y1?x1y2).即z1z2?z1?z2,Argz1z2?Arcz1?Arcz2 （5）z1/z2?(x1x2?y1y2)/(x2?y2)?i(x2y1?x1y2)/(x2?y2). 即z1/z2?z1/z2,Arg(z1/z2)?Arcz1?Arcz2. （6）z?r(cosn??isinn?). nn2222（7）nz?r1/n?cos(??2k?)/n?isin(??2k?)/n?,k?0,1,?,n?1.在几何上，nz的n个值恰为以原点为中心，r4.曲线与区域 （1）设z(t)?x(t)?iy(t),，其中x(t)，y(t)(a?t?b)为实变量t的单值连续函数，则 1/n为半径的圆内接正n边形的n个顶点. z?z(t)(a?t?b)表示复平面上的一条连续曲线. 一条没有重点的连续曲线称简单曲线或约当曲线.如果简单曲线的起点与终点重合，称简单闭曲线.如果在a?t?b上，x?(t)y?(t)连续，且对每一t值，有?x?(t)???y?(t)??0,称曲 22线z(t)是光滑的. 任意一条简单闭曲线分复平面为三个部分.曲线C为边界，有界区域为C的内部，无界区域为C的外部. （2）复平面上的非空连通开集称为区域.区域连同其边界称闭区域. 若在复平面上区域D内任作一条简单闭曲线，其内部总属于D，称D为单连通域.若D不是单连通域，则D为多连通域. 5.复变函数 设G为一个复数集，若有一个确定法则存在，使对于任一z?G，有一个或几个复数 ??u?iv与之对应，则称复变数?是复变数z的函数，记作??f(z). 复变函数在几何上表示z平面上一个点集G（定义集合）到?平面上一个集合G（函数值集合）的映射（或变换）. 6.复变函数的极限 ，z称为?的原像. ?称为z的像（映像） * 设??f(z)在点z0的某去心邻域0?z?z0??内有定义，A为一确定常数.若对任给的 ??0,存在相应??0，使对满足0?z?z0??的z，恒有f(z)?A??，则称A为f(z)当z趋向z0时的极限，记作limf(z)?A. z?z0由于z?z0的方式的任意性更强，因此复变函数的极限定义比一元实函数极限定义要求苛刻得多. 复变函数极限的运算法则与实函数极限运算法则相同. 7.复变函数的连续性 如果limf(z)?f(z0)，称f(z)在z0连续.若f(z)在区域D内每一点都连续，称f(z)在 z?z0D内连续. f(z)?u?iv在点z0?x0?iy0连续的充要条件为u和v在点(x0,y0)连续. 复变函数连续性的运算法则与实函数连续性运算法则相同. 学习与考试要求 （1） 熟练掌握复数的各种表求方法以及四则、乘幂和共轭运算. （2） 了解区域的概念.单连域、多连域的区分. （3） 了解曲线、光滑曲线、简