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实数完备性理论 实数完备性理论，理论基础及英应用 实数完备性是指六大定理的等价性。它的六大定理如下：1、确界原理 2、单调有界原理 3、区间套定理 4、有限覆盖定理 5、聚点定理（紧性定理）6、Cauchy收敛准则。其中任何一个命题都可推出其余的五个命题 一、认识实数完备性 1、确界原理 （1）确界原理：设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。 （2）上确界定义：设S是R中的一个数集，若数η满足 （i）对一切x∈S，有η≥x，即η是S的上界； （ii）对任何的aa，即η是S的最小上界，则称η为数集s的上确界； 下确界定义：设S是R的一个数集，若数ξ满足： （i）对一切x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界； （ii）对任何的βξ,存在x0∈S，使得x0 定理：在实数系中，单调有界数列必有极限 3、区间套定理 （1）区间套定义：设闭区间列{ [a（n） ,b（n ）]}具有如下性质： (i) [a（n+1）,b（n+1）]包含于[a（n）,b（n ）]，n=1,2,3，......； (ii) Lim( a（n）-b（n))=0,则称{[an ,bn ]}为闭区间套，或简称区间套。 (2)区间套定理：如果{[an ,bn]}形成一个闭区间套，则在实数系中存在唯一的实数ξ属于所 有的闭区间[an ,bn]，n=1,2,3，…；即an≤ξ≤bn , n=1,2,3，…。且liman=lim bn=ξ。 4、开覆盖 （1)开覆盖的定义：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合，（即H中每一个元素都是形如(a,b)的开区间).若S中的任何一点都含在至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆 盖，或简称H覆盖S. (2)有限覆盖定理：设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区 间来覆盖[a,b] 5、聚点 （1）聚点定义：设S为数轴上的点集,e为定点(它可以属于S,也可以不属于S),若e的任何ε邻域内都含有S中的无穷多个点,则称e为点集S的一个聚点。 对于点集S,若点e的任何ε邻域内都含有S中的异于e 的点,则称e为S的一个聚点。 （2）聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点。 6、Cauchy收敛准则 （1）数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当mN,nN时就有|Xn-Xm| (2）证明：必要性：设lim an=A(n-∞),对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当mN,nN时就有|an-A| 充分性：取ε=1,根据Cauchy列定义，存在自然数N，对一切nN，有|a(n)-a(N+1)|1。 令M=max{|a(1)|,|a(2)|，…，|a(N)|，|a(N+1)|+1} 则对一切n，成立|a(n)|≤M。所以Cauchy列有界。 由致密性定理（有界数列必有收敛子列），故lim an=A(n--∞) 由存在着这样的正整数N，使得当mN,nN时就有|an-am|N,并且令k趋向于正无穷，得|an-A| 1、用“确界原理”证明“单调有界原理” 证：不妨设{an}为有上界的单调递增函数。由确界原理，数列{an}有上确界，记a=Sup{an} 下面证明a就是{an}的极限。事实上，任给ε0，按上确界的定义，存在数列{an}中的某一项aN,使得a-ε 又由{an}的递增性，当n=N时有a-ε 另一方面，由于a是{an}的一个上界，故对一切an都有an=a∞）。 同理可证有下界的递减数列必有极限，且极限即为它的下确界 2、“单调有界原理”证明“区间套定理”(2=3) 证：注意到{an}单调递增由上界b1,则由单调有界原理，存在ξ∈R，且lim(n--∞）an=ξ,ξ=Supan,即an≤ξ（n=1，2,……） 由lim（bn-an ）=0知lim(n--∞）bn=ξ,且ξ=infbn,故ξ≤bn（n=1，2,……） 从而an≤ξ≤bn , n=1,2,3，… 下证唯一性：设ξ、k∈[an,bn]即an≤ξ，ξ≤bn由两边夹定理知k=ξ 3、用“区间套定理”证明“有限覆盖定理”（3=4） 证：将[a,b]等分为两个子区间