高中空间立体几何典型例题.docx

B B1B 高中空间立体几何典型例题 1 如图所示，正方体— A1B1C1D1 中，侧面对角线 F，且 B11F. 求证：∥平面 . 证明 方法一 分别过 E， F 作⊥于 M，⊥于 1， 1 上分别有两点 E， N ， 连接 . ∵1 ⊥平面， ∴1 ⊥， 1 ⊥， ∴∥ 1，∥ 1， ∴∥ . 又∵ B11F，∴， 故四边形是平行四边形，∴∥ . 又 平面， 平面， 所以∥平面 . 方法二 过 E 作∥交 1 于 G， 连接，则 B1E B1G ， B1A B1B ∵B11 F， B11B， ∴ C1E C1B B1G ，∴∥ B1C1 ∥， 又∩，∩， ∴平面∥平面，而 平面， ∴∥平面 . 2 已知 P 为△所在平面外一点， G1、 G2、 G3 分别是△、△、△的重心 . （1）求证：平面 G1G2G3 ∥平面； 1 / 15 PD2 PD 2 3 PE 3 3 高中空间立体几何典型例题 （2）求 S△ G1G2G3 ∶S△ . （ 1）证明 如图所示， 连接 1、 2、 3 并延长分别与边、 、 交于点 D、 E、 F ， 连接、、，则有 1 ∶2 ∶3， 2 ∶2 ∶3，∴ G1G2 ∥ . 又 G1 G2 不在平面内， ∴G1G2 ∥平面 . 同理 G2 G3 ∥平面 . 又因为 G1G2 ∩G2G32， ∴平面 G1G2G3 ∥平面 . （2） 解 由（ 1）知 PG1 又 1 ，∴ G1G2 1 . 同理 G2G3 1， G1G3 1 . 3 3 PG 2 = 2 ，∴ G1G2 2 . ∴△G1G2G3∽△，其相似比为 1 ∶3， ∴S△ G1G2G3 ∶S△ 1 ∶9. 3 如图所示， 已知 S是正三角形所在平面外的一点， 且， 为△上的高， D、 E、 F 分别是、、 的中点， 试判断与平面的位置关系， 并给予证明 . 解 ∥平面，证明如下： 方法一 连接交于点 H， 如图所示 . ∵是△的中位线， ∴∥ . 在△中， D是的中点， 2 / 15 高中空间立体几何典型例题 且∥ . ∴H为的中点 . ∴是△的中位线， ∴∥ . 又 平面， 平面， ∴∥平面 . 方法二 ∵为△的中位线，∴∥ . ∵ 平面， 平面， ∴∥平面 . 同理可证，∥平面，∩， ∴平面∥平面，又 平面， ∴∥平面 . 5 如图所示， 在正方体— A1B1C1D1 中， E、 F、 G、 H分别是、 1、 C1D1、 A1A 的中点 . 求证： （1）∥ 1； （2）∥平面 1D1D； （3）平面∥平面 B1D1H. 证明 （1）如图所示，取 1 的中点 M， 易证四边形 1D1 是平行四边形，∴ 1 ∥1 . 又∵ 1 ∥，∴∥ 1 . （2）取的中点 O，连接， D1O， 3 / 15 2CB 2 CB 4 ， 高中空间立体几何典型例题 则1 则 2 又 D1 G 1 ，∴ D1G， ∴四边形 1 是平行四边形， ∴∥ D1O. 又 D1 O 平面 1 D1D，∴∥平面 1 D1D. （3）由（1）知 D1H∥，又∥ B1D1， B1D1、 1 平面 1D1，、 平面，且 B1 D1 ∩ 11， ∩，∴平面∥平面 B1 D1H. 6 如图所示， 四边形为空间四边形的一个截面， 若截面为平行四边形 . （1）求证：∥平面，∥平面 . （2）若 4， 6，求四边形周长的取值范围 . （1） 证明 ∵四边形为平行四边形，∴∥ . ∵ 平面，∴∥平面 . ∵ 平面，平面∩平面， ∴∥ . ∴∥平面 . 同理可证，∥平面 . (2) 解 设（ 0＜x＜ 4），由于四边形为平行四边形， ∴ CF x . 则 FG BF BC CF 6 BC BC 1- x . 4 4 / 15 高中空间立体几何典型例题 从而 6- 3 x . 2 ∴四边形的周长 2(6- x )=12. 又 0＜x＜4, 则有 8＜ l ＜12, ∴四边形周长的取值范围是（ 8， 12