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基本不等式导学案
不等式导学案
教学目标:(1)学会推导不等式ab?a?b,理解不等式的几何意义。 2 (2)知道算术平均数、几何平均数的概念 (3)会用不等式求一些简单的最值问题 教学重点:基本不等式ab?a?b的推导及应用。 2教学难点:理解“当且仅当a?b时取等号” 的意义。 教学过程:
如图所示,这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大会
上作为会标。你知道这其中含有哪些数学因素吗?
设小直角三角形的两条直角边为a、b,
则正方形的边长为 ,正方形的面积为 。
四个直角三角形的面积和为 。 4?S三角形?S正方形? 。
思考:当中间的小正方形面积为0的时候,此时直角三角形是 , (4?S三角形?S正方形) 概念: 一般的,对于任意的实数a,b,我们有 ,当且仅当 时,等号成立.
特别的,如果a?0,b?0 ,我们用a、b分别代替a,b,可得 。我们通常把上式写
成ab?a?b(a?0,b?0) 2第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢?
a?b?ab ① 2 只需证 ? ② (同时平方)
要证②只需证 ?0 ③ (右边的项移到左侧)
证明过程: 要证
要证③只需证 (_____?_____)2?0 ④
显然④成立.当且仅当a?b时,等号成立. a,b,
概念扩展: 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数a,b, 且a?0,b?0,
a?b是a,b的 ,叫做a,b的算术平均数, 2ab是叫做a,b的 ,叫做a,b的几何平均数,
由基本不等式可得:a,b的等差中项 a,b的等比中项(?,?),
特别的,当a?b时,a,b的等差中项等于a,b的等比中项。
1? aab 若ab?0,则??
ba习题二:(1)用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短? 设菜园的长为x,宽为y,则xy? ,篱笆的总长度表示为 ,
习题一:若a?0,则a? 由
a?b?ab 可得x?y? , 2当等号成立时,所用篱笆最短,此时x?___,y?___.
(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长和宽各是多少面积最大? 设菜园的长为x,宽为y,则x?y? ,篱笆的面积表示为 ,
a?b?ab可得xy? , 2当等号成立时,面积最大,此时x?_____,y?_____.
由
总结:两个实数a?0,b?0,
若它们的积为定值,则它们的和有最 值,当且仅当a?b成立。 若它们的和为定值,则它们的和有最 值,当且仅当a?b成立。
练习:1 直角三角形的面积为50,两条直角边各为多少时,两直角边的和最小?最小值为多少? 设两边分别为x,y。则xy?_______ x?y
2 用20cm长的历铁丝折成一个面积最大的矩形,应当怎样折?
3 把36写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小?
4 把18写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大?
概念回顾:基本不等式 ,其中(a?0,b?0)特别的,当 时等号成立。 a,b的算术平均数是 , a,b的几何平均数是 。
感谢您的阅读,祝您生活愉快。
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