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武汉大学2021-2021第二学期《高等数学B》试题及其答案 武汉大学2021―2021学年第二学期《高等数学B2》（180学时）考试试题 （A卷） 一、（36分）试解下列各题： ??2x?y?0xyz???4x?2y?3z?6??124的平面方程； 1、求通过直线且平行于直线 2、在两边向量为AB?{0,4,?3},AC?{4,?5,0}的?ABC中，求AB边上的高h； 3、求曲面x?y?z?6在点(1,?2,1)处的切平面和法线方程； 4、设z=e xy222?2z xy； +y2lnx，求二阶偏导数抖 5、计算二重积分 ??xydxdyD0，其中D?{(x,y)|x?y?a,x?0,y?0}； 2226、交换积分次序 ??1dx?1?x2x?1f(x,y)dy。 z?x?y?二、（10分）求函数 1xy(x?0,y?0)的极值。 三、（12分）设函数g(x)具有连续导数，曲线积分Lx[e??g(x)]ydx?g(x)dy与路径无关, g(0)?? 1、求满足条件 (1,1)12的函数g(x)； 2、计算 (0,0)?[ex?g(x)]ydx?g(x)dy的值。 1357????24816四、（12分）证明级数 收敛，并求其和。 ?x2y?x2?y2,f(x,y)???0,?五、（15分）1、求函数 2、问微分方程yx2?y2?0x2?y2?0的二阶偏导数 fxy(0,0)； ????y???2y??0的哪一条积分曲线y?y(x)通过点(0,?3)，在这点处有 倾角为arctan6的切线，且 y??|x?0?fxy(0,0)。 F?i?zj?六、（15分）试求向量 ezx?y22k22z?x?y,z?1,z?2所围成 穿过由 区域的外侧面（不包含上、下底）的流量。 武汉大学2021―2021学年第二学期《高等数学B2》（180学时A卷)考试试题参考解答 ??2x?y?0?4x?2y?3z?6x?y)?0?一、解: 1、通过直线?的平面束方程为：4x?2y?3z?6??(2 （1） xyz??124，则 欲使平面（1）平行于直线4?2??2(2??)?12?0????5代入（1）得所求平面方程为：2x?y?z?2?0 ijkS? 2、?ABC的面积为: hS?|AB||AB|?0?16?9?52又,,故h?5 3、设 1125|AB?BC|?04?3?2224?50, F?x2?y2?z2?6,Fx?2x,Fy?2y,Fz?2z 故得曲面在点(1,?2,1)处的法向量为：?2,?4,2??2{1,?2,1}。 故切平面方程为：(x?1)?2(y?2)?(z?1)?0即x?2y?z?6 x?1y?2z?1??1?21 法线方程为： 4、 zx=yexyxy(?)xy2?y2yxe1y2xyxyzxy?e?yxe??+x，xx， ?a4xydxdy??cos?sin?d??rdr???8 00 5、D23a6、由已知得：0?y?1,?1?y?x?y?1，所以有：原式 ??z?1?1?0?x2y??x???z1??1?2?0??yxy???x?1?y?1??2??10dy?y?1?1?y2f(x,y)dy 二、解： 又求二阶导数： A?zxx?2x?3y?1,B?zxy?x?2y?2,C?zyy?2y?3x?12 在点(1,1)处，B?AC??3?0,A?2?0，故z(1,1)?3为所求极小值。 ?Q?P?Q??g(x)P?[e?g(x)]y?x?y 得 三、解：1、由 且 ??dx12xx?dx?xg(x)?e[(?eedx?c]?e[?e?c]x?g?(x)?g(x)??e2解得： x由 g(0)??11g(x)??ex2 2，得：c?0 所以 2、 1x1x11eydx?edy?edy?e??2222(0,0)0(1,1)1 un?12(n?1)?12n?112n?1lim?lim/?n?1n?n??un??n222n 四、解：级数可写为n?12，由 ???1?2n?1nn????1???nn?1nn?1n?1n?1n?1n?12