《点集拓扑学》§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理.docxVIP

《点集拓扑学》§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理 §6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理 本节重点: 掌握Urysohn引理的内容(证明不要求)； 掌握定理6.3.2的证明方法． 定理6.3.1 [Urysohn引理]设X是一个拓扑空间，[a，b]是一个闭区间．则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f:X→[a，b]使得当x∈A时f(x)=a和当x∈B时f(x)=b． 证明：由于闭区间同胚于[0,1],因此我们只需对闭区间[0,1]的情形给以证明. 充分性:设A,B是X中的两个闭集,f:X?[0,1]是一个连续映射使得当x?A11[0,),(,1]时,f(x)?0,x?B时f(x)?1.由于集合22是[0,1]中两个不相交的开集,因 此. U?f?1([0,))和V?f?1((,1])是X中两个不相交的开集,并且A?U,B?V, 2211因此X是一个正规空间. 必要性.设X是一个正规空间, A,B是X中两个不相交的闭集,证明的主要思想是首先利用X的正规性在X中构造一个以[0,1]中的有理数为指标集的一个开集族,然后利用这个开集族定义连续映射f:X?[0,1],使得x?A时,f(x)?0,x?B时f(x)?1. 第一步,设Q1是[0,1]中的全体有理数集合,对r?Q1我们将定义一个与它相对应的开集Ur,使得当r,q?Q1,r?q时,A?Ur?Ur?Uq?X?B,这样,开集族{Ur|r?Q1}在包含关系下是一个有序集,而且随着开集Ur的指标r的增大所对应的开集也就越大. 由于Q1是可数集合,我们应用归纳的方式来定义开集族{Ur|r?Q1}.先将Q1排列成一个无限序列,即建立一一映射g:Z??Q1,为了方便,不失一般性,设g(1)?1和g(2)?0是这个序列的前两个元素.首先,A?X?B,令U1?X?B.又由于X是一个正规空间,由定理6.4.2可知存在开集V使得A?V?V?X?B.记U0?V,假设对于n?2,集族{U1,U0,Ug(3),?,Ug(n)}已有定义,而且当g(i)?g(j)时 A?Ug(i)?Ug(i)?Ug(j)?X?B,对于 g(n?1)?Q1,由于集合 {g(i)|1?i?n,g(i)?g(n?1)}是一个有限集,而且有g(2)?0?{g(i)|1?i?n,g(i)?g(n?1)},故这个集合必有最大元,设 p?max{g(i)|1?i?n,g(i)?g(n?1)},又集合{g(i)|1?i?n,g(i)?g(n?1)}是一个有限集合,而且g(1)?1?{g(i)|1?i?n,g(i)?g(n?1)},令 q?min{g(i)|1?i?n,g(i)?g(n?1)}. 由归纳假设知一定有A?Up?Up?Uq?X?B.由于Up?Uq,由定理6.4.2知存在 X中开集V使得Up?V?V?Uq.令Ug(n?1)?V,则集族 也 满 足 : 当 g(i)?g(j){Ug(1),Ug(2),?,Ug(n),Ug(n?1)}时, A?Ug(i)?Ug(i)?Ug(j)?X?B.这是因为对g(i)?g(j)： ①若i,j?{1,2,?,n}时,由归纳假设知包含关系成立. ②若i?n?1时,由于g(n?1)?g(j),则必有g(j)?q. 即g(j)?min{g(i)|1?i?n,g(n?1)?g(i)},因此由g(n?1)的定义及归纳假设有A?Ug(n?1)?V?V?Ug(j)?X?B. ③若j?n?1,则g(i)?g(n?1),则必有g(i)?p,即g(i)?max{g(i)|1?i?n,g(i)?g(n?1)}.因此由g(n?1)定义及归纳假设有A?Ug(i)?Ug(i)?V?Ug(n?1)?X?B. 因此由归纳原理我们构造了集族{Ur|r?Q1}满足条件：对 p,q?Q1,A?Up?Up?Uq?X?B,而且随着指标r的增加,Ur也随着增大(在包含关系的意义下). 下面,我们令Q1?{1,0,,,,,,,,,?}来说明上面的归纳定义集族 2334555511211234{Ur|r?Q1}的过程. 在定义了U1?X?B,U0之后,定义U1于U0,U1之间使之满足 2U0?U1?U1?U1,再定义U1于U0,U1之间,使之满足U0?U1?U1?U1.接着定 2232332义U2于U1,U1之间使之满足U1?U2?U2?U1,对于r?3223314,由于 ma{0x}?