课时突破 立体几何解答题 2.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。 第2课时　空间角、空间距离的计算问题 考向一　利用空间向量计算异面直线所成的角与线面角 命题角度1　求异面直线所成的角 【典例】1.已知正四面体ABCD中，所有的棱长为4，点O是△ABC的中心，将△DAO绕直线DO旋转一周，则在旋转过程中，求直线DA与直线BC所成角的余弦的最大值. 【解析】因为·=· =·-·， 又因为点O是△ABC的中心，所以OD⊥BC，所以 ·=0，所以·=·，因为·≤·=433×4=1633，当且仅当∥且与同向时，取等号. 设与所成角为θ， 所以·=·cos θ≤1633， 所以cos θ≤33，所以直线DA与直线BC所成角的余弦的最大值是3 　2.(2020·新乡一模)如图，在正四棱锥V-ABCD中，二面角V-BC-D为60°，E为BC的中点. (1)证明：BC=VE； (2)已知F为直线VA上一点，且F与A不重合，若异面直线BF与VE所成角为60°，求VFVA 【解析】(1)设V在底面的射影为O.则O为正方形ABCD的中心，如图，连接OE，因为E为BC的中点，所以OE⊥BC.在正四棱锥V-ABCD中，VB=VC，则VE⊥BC， 所以∠VEO为二面角V-BC-D的平面角，则∠VEO=60°. 在Rt△VOE中，VE=2OE，又AB=BC=2OE， 所以BC=VE. (2)取AB的中点G，以O为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz， 设AB=2，则V(0，0，3)，E(0，1，0)，B(1，1，0)， A(1，-1，0)，=(1，-1，-3)，=(1，1，-3)， =(0，1，-3).设=λ(λ≠1)， 则=-=(λ-1，-λ-1，-3λ+3)， 从而|cos，|= =|2λ- 整理得λ2+10λ-11=0， 解得λ=-11(λ=1舍去)，故VFVA 命题角度2　求线面角 【典例】(2020·枣庄二模)如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，=2，=2. (1)求证：AN∥平面MB1D1； (2)若AB=2AD=2，∠BAD=60°，AA1=3，求NB1与平面MB1D1所成角的大小. 【解析】(1)取AM的中点E，连接EC1，A1C1.设A1C1∩B1D 由题意，O是线段A1C1的中点，M是线段EA1的中点，所以MO是△A1C1E的中位线，所以MO∥EC 由题意，AE=13AA1，NC1=13CC1，AA1=CC 所以AE=NC1，又AE∥NC1，所以四边形AEC1N是平行四边形.所以AN∥EC1.又MO∥EC1， 所以AN∥MO. 又AN?平面MB1D1，MO?平面MB1D1， 所以AN∥平面MB1D1. (2)在△ABD中，AB=2AD=2，∠BAD=60°， 由余弦定理得BD2=12+22-2×1×2×cos 60°=3. 可见DA2+DB2=AB2，所以DA⊥DB. 以D为坐标原点，以，，所在方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz，则M(1，0，2)，B1(0，3，3)，D1(0，0，3)，N(-1，3，2). 所以=(1，0，-1)，=(0，3，0)， =(1，0，1). 设n=(x，y，z)为平面MB1D1的一个法向量， 则即x- 令x=1，则n=(1，0，1). 可见，就是平面MB1D1的一个法向量，所以NB1与平面MB1D1所成的角为90°. 　本例条件不变，求NB1与平面MB1D所成角的正弦值. 【解析】由例题解析知M(1，0，2)，B1(0，3，3)，D(0，0，0)， N(-1，3，2). 所以=(1，0，1)，=0,3,3，=1,0,2，设NB1与平面MB1D所成的角为α 所以3y 所以可取m=2,3,-1，所以sin α= 　向量法求异面直线所成角的关注点 (1)公式：设异面直线m，n所成角为θ，a，b分别是异面直线m，n的方向向量，则cos θ=a· (2)关键：找出两异面直线的方向向量； (3)提醒：两条异面直线所成角的范围是0,π2，而两向量的夹角的范围是 1.(2020·石家庄二模)已知三棱锥P-ABC中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1，PB=PC=5，设点E为PA中点，点D为AC中点，点F为PB上一点，且PF=2FB. (1)证明：BD∥平面CEF； (2)若PA⊥AC，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 【解析】(1)如图. 连接PD交CE于G点，连接FG，因为点E为PA的中点，点D为AC的中点，所以点G为△PAC的重心，则PG=2GD，因为PF=2FB，所以FG∥BD， 又因为FG?平面CEF，BD?平面CEF， 所