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与几何有关的排列组合题的解法 排列组合是高考的必考内容， 而与几何有关的排列组合题在历年的高考中也经常 出现，此类题的常用解法主要有以下几种： 一 . 总体淘汰法 先在弱化条件下算出总数，再严格筛选，把少数不合条件的除去。 例 1. （1996 年全国高考题）正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为 顶点的三角形共有 _________________个。 解：从 7 个点中任取 3 个点，（不管是否可组成三角形）其取法有 种，在这 些取法中三点共线的情况有 3 种，所以共有三角形 个。 例 2. （2002 年全国高考题）从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不 相邻的选法共有 ________________种。 分析：此题正面思考情形较多， 从反面思考， 则转化为总体中除去 3 个面两两相 邻的情形。 解：6 个面中取 3 个共有 个，其中 3 个面两两相邻只有在共顶点时才出现， 共 有 8 个，故所有不同选法有 个。 二 . 利用已有的数学模型 例 3. 在某个城市中 M、N两点之间有整齐的道路网，如图所示，若各个小矩形的 边都表示街道，从 M到 N 处要使路程最近，则共有多少种走法？ 分析：把前图 的方格看成一张地图， 每个小矩形的边当成一步， 则从 M到 N 至少要走 6 步，其中必须向北走 2 步、向东走 4 步。我们看如下的模型：将所走 的 6 步用 6 张卡片表示， 若卡片上写 “北”字则表示向北走， 现将 2 张写有 “北” 字的卡片和 4 张写有 “东”字的卡片分别放入 6 个小盒子中，每个盒子里放一张， 每一种放法对应着一种走法。如这样一种放法：“东、东、东、北、北、东”则 表示“从 M处向东走 3 步，再向北走 2 步，然后向东走一步到 N”。在这些卡片 中只要把写有“北”字（或“东”字）的卡片放好，余下的盒子里每一个放一张 “东”（或“北”）即可，放法有 种或 种（卡片上只要字同则认为无 区别）。 推广：将上例中的 个方格推广到 个方格，这时从 M到 N 的最短路程的 走法是： 。 三 . 特征分析法 抓住几何图形的某一特征，寻找突破口。 例 4. 圆周上有 20 个不同的点，过任意 2 点联结成一条弦，这些弦在圆内的交点 最多只能有 _____________________个。 分析：圆上 20 个点相互联结所产生的弦是相当多的，从这些弦中任取两条，则 有些有交点， 有些无交点， 有些交点可能重合了， 解此题的关键是抓住其本质特 征进行分析， 如果圆内某点是两弦的交点， 则此两弦与圆有四个交点， 联结这四 点则得到一圆内接四边形， 反之， 从圆上任取四点组成圆内接四边形， 这个四边 形的两对角线有且只有一个交点，若不考虑某些交点重合，则交点最多可有 个。 例 5. （2004 年安徽省春招卷理 9 ）直角坐标系 平面上，平行直线 ，与平行直线 组成的图形中矩形 共有（） A.25 个 B.36 个 C.100 个 D.225 个 解： 6 横 6 纵的 12 条直线垂直相交共有 36 个点，在这 36 个点中任取 2 个点连 成线段，则以这条线段为对角线的矩形最多有一个，