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世界数学十大未解难题希尔伯特 23 个问题未解决的问题 世界数学十大未解难题 （其中“一至七”为七大“千僖难 题”；附录“希尔伯特23 个问题里尚未解决的问题”） 一： P （多项式算法）问题对 NP （非多项式算法）问题 在一个周 六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安， 你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你 提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。 不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确 的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅， 一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的 一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这 种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你， 数 13 ，717 ，421 可以写成两个较小的数的乘积，你可能不 知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为 3607 乘上 3803 ，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证 这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可 以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花 费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问 题之一。它是斯蒂文·考克（ StephenCook ）于 1971 年陈述 的。 二： 霍奇 (Hodge) 猜想 二十世纪的数学家们发现了研究复 杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度 上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单 几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用， 使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力 的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象 进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程 序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某 些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影 代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件 实际上是称作代数闭链的几何部件的 (有理线性 )组合。 三： 庞加莱 (Poincare) 猜想 如果我们伸缩围绕一个苹果表 面的橡皮带， 那么我们可以既不扯断它， 也不让它离开表面， 使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样 的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断 橡皮带或者轮胎面， 是没有办法把它收缩到一点的。 我们说， 苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。 大约在一百年以前， 庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他 提出三维球面 (四维空间中与原点有单位距离的点的全体 )的 对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家 们就在为此奋斗。 四： 黎曼 (Riemann) 假设 有些数具有不 能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如， 2,3,5,7, 等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着 重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何 有规则的模式； 然而，德国数学家黎曼 (1826~1866) 观察到， 素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数 z(s$ 的性态。著名的黎曼假设断言， 方程 z(s)=0 的所有有意 义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的 1,500,000,000 个解验证过。证明它对于每一个有意义的解 都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。 五：