第29讲平面向量的概念与线性运算(解析版).docx

1 1 第29讲：平面向量的概念与线性运算 一、 课程标准 L了解向量的实际背景，理解平而向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2?掌握向呈加、减法的运算，并理解其几何意义. 3?掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义. 4?了解向量的线性运算性质及其几何意义. 二、 基础知识回顾 知识梳理 向量的有关概念 零向量：长度为0的向量叫零向虽:，其方向是不确左的. 平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.我们规定零向量与任一向量平行. 单位向量：长度等于1个单位长度的向量. 相等向量：长度相等且方向相同的向量. 相反向量：与向量a长度相等*方向相反的向量叫做a的相反向量. 向量的线性运算 ⑴向疑加法满足交换律a+b=b + a，结合律(a+b)+c = a+(b+c). 向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则. 向量的数乘：实数2与向量a的积是一个向量，记作屁，它的长度和方向规泄如下： |Aa|=|A||a|： 当z0时Ja与a方向相同; 当z0时Ja与a方向相反: 当 a=0 时? Aa=O： 当入=0时，ka=0. 实数与向量的运算律：设X，pGR，a，b是向量，则有： 2(“a)=(2“)a： (人 + “)a=2a+“a: 久(a+b)=2a+2b. 向量共线泄理： 如果有一个实数X，使b=za(a=0)，那么b与a是共线向量:反之，如果b与a(a^0)是共线向虽，那么 有且只有一个实数X，使b=za. 三、自主热身、归纳总结 1、 在下列结论中，正确的是（ ） 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 模相等的两个平行向量是相等向疑 若a和b都是单位向量?则a=b 两个相等向疑的模相等 【答案】D 【解析】 由平而向疑的基本概念可得，D是正确的. 2、 对于非零向疑a，b，“a+b=O是乜〃丄的（ ） 充分不必要条件B必要不充分条件 C.充要条件D既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 若a+b=O ?则a=—b ? ,\a//b. 若a〃b，则a+b=O不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件.故选丄 TOC \o 1-5 \h \z 3、 已知N3=4ei+2e2，PO=2ei + te2，若 M、P、。三点共线 ? 则 t=（ ） 1 B.2 C.4 D. -1 【答案】A （4=2/1， 【解析】 TM、P、0三点共线，则0与屜共线，，即4ei+2e2=2ei+re2），得仁. 解 I2=xr ? 得/=1.故选A. 4、 （2019秋?如皋市期末）在梯形ABCD中，AB//CD, AB = 2CD, E, F分别是 M, CD的中点，AC 与3D交于M,设AB = d , AD = b ,则卜列结论正确的是（ ） A. AC = —ci + b B. BC = ——cl + b C. BM = ——+ —/? D. EF = ——ci + b 2 3 3 4 【答案】.ABD 【解析】由题意可得，AC = AD + DC = b + ^a^故A正确： 2 BC = BA + AC = -a + b + ^a=b--a.故 3 正确； 2 =BA + AM =-a + -AC = -a+-b+ax- = ±h-±a^ 故C错误； TOC \o 1-5 \h \z 3 3 3 3 EF = EA + Ab + DF = --a + b+-a = b--a ,故 D 正确. 4 4 故选：ABD. 5、 在 A ABC 中 IaI = IaI = Ia§-AI，则ZBAC= ? 【答案】60° 【解析】v|A-Atl = lBt：l，??」殆1 = 1屁1 = 1就1 得A ABC是等边三角形， .\ZBAC=60o. 6、 已知P是aABC所在平而内的一点，若~CB=kPA + 其中2GR.则点P—能在（） A. ^ABC的内部 B.兴C边所在直线上 C. AB边所在直线上 D. BC边所在直线上 【答案】B 【解析】由~CB =kPA 得—为=/T冠：~CP =/^PA .^\~CP .正孑为共线向童，yCCP, 方有 一个公共点P,所以C, P, /三点共线，即点P在直线ACJl. 四、例题选讲 考点一、平而向量的有关概念 例1、（2019年徐州开学初考试）给岀下列四个命题： 若\a\=\b\,贝U=h； 若J, B, C, D是不共线的四点，则“益=万是“四边形肋CD为平行四边形的充要条件； 若 a=b, b=c,则 a=C, a=b的充要条件是|a| = |切且a//b. 苴中正确命题的序号是（） A.②③ B.①② C.?@ D.②④ 【答案】A 【解析】①不正确?两个向量的长度相等，但它们的方向不一立相冋. ②正确???■益=万乙???两| =