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误差基本知识 第一页，共22页。 一、误差产生的原因 测量误差主要来自以下三个方面： (1) 外界环境 主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。 (2) 仪器 仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。 (3) 观测者 由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。 第二页，共22页。 观测条件：测量仪器、观测者和外界环境 等精度观测；观测条件相同的各次观测 不等精度观测：观测条件不同的各次观测 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为系统误差和偶然误差 第三页，共22页。 二、误差的分类 1、系统误差：在相同观测条件下做一系列的观测，误差在大小、正负上表现出一致性，或按一定规律变化。 2、偶然误差：在相同观测条件下做一系列的观测，误差在大小、正负上表现出不一致性，从表面上看毫无规律可言。 第四页，共22页。 三、偶然误差的统计规律性 真误差公式： ?i=X-Li (i=1,2,…,n) 例: 测量162个三角形的全部内角,此时Li=Ai+Bi+Ci,X=180?,共计算出162个 ?。把这162个?取0.2?为一个误差区间,并按其值大小和正负号排列,统计其出现在各误差区间的个数,得到“误差分布表” 第五页，共22页。 1、偶然误差绝对值不会超过一定的限值； 2、绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多； 3、绝对值相等的正负误差出现的机会相等； 4、在等精度观测下偶然误差的算术平均值，随观测次数的无限增大趋于零 第六页，共22页。 直方图及误差分布曲线 横轴:误差区间的大小 纵轴:相对个数除以误差区间的大小 小方块的面积为误差出现的相对个数 第七页，共22页。 算术平均值 第八页，共22页。 五、评定精度的指标 精度：误差分布的密集或离散程度。 误差分布密集，误差就小，精度就高；反之 误差分布离散， 误差就大， 精度就低。 中误差及其计算 1 中误差的定义 在相同的观测条件下，对同一未知量进行n次观测，所得各个真误差平方的平均值，再取其平方根，称为中误差，用m表示，即： 式中：［ΔΔ］为真误差Δ的平方和，n为观测次数 第九页，共22页。 应用公式的前提： 1.真值已知 2.观测值等精度（同观测条件下的观测值） 3. “±”不能省略 4.观测值可以为直接观测值，也可为由直接观测值导出的函数值 第十页，共22页。 第十一页，共22页。 由改正数推求中误差 第十二页，共22页。 第十三页，共22页。 第十四页，共22页。 中误差的两种计算公式 第十五页，共22页。 2、相对误差 中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观测量的大小无关。 例：分别丈量了两段不同长度的距离，一段为100m，另一段为200m，但中误差皆为±0.02m 相对误差的定义：中误差的绝对值与相应观测值之比。相对误差习惯于用分子为1的分数形式表示，分母愈大，表示相对误差愈小，精度也就愈高。 第十六页，共22页。 3、极限误差（Admissible Error） 根据偶然误差的第一个特性，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，这个限值就是极限误差，简称限差。 限差是偶然误差的限制值，用作观测成果取舍的标准。如果观测值的偶然误差超过限差，则认为该观测值不合格，应舍去不用。 测量上常取三倍或两倍中误差作为极限误差Δ限，也称允许误差，即： 第十七页，共22页。 ５-５误差传播定律 能直接观测的量，经过多次观测后，可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差，作为评定观测值精度的标准。 在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这些未知量即为观测值的函数。 例如，在水准测量中，两点间的高差h=a-b，则h是直接观测值a和b的函数；在三角高程测量的计算公式中，如h=D×tanδ+i-L，高差h就是观测值i和δ的函数 在观测值中误差为已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题即描述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律 第十八页，共22页。 １.常用函数的中误差公式 第十九页，共22页。 1.量得某圆形建筑物得直径D=34.50m,其中误差 ,求建筑物得圆周长及其中误差。