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数系的扩充与复数的引入
[ 知识能否忆起 ]
一、复数的有关概念
1．复数的概念： 形如 a＋bi( a，b ∈R) 的数叫复数， 其中 a，b 分别是它的实部和虚部． 若
＝0 ，则 ＋ i 为实数；若 ≠0，则 ＋ i 为虚数；若 ＝0 ， ≠0，则 ＋ i 为纯虚数．
b a b b a b a b a b
2．复数相等： ＋ i ＝ ＋ i ? ＝ ， ＝ ( ， ， ， ∈R) ．
a b c d a c b d a b c d
3．共轭复数： a＋bi 与 c＋di 共轭 ? a ＝c ，b＋d ＝0( a，b，c，d ∈R) ．
4 ．复数的模：向量 ―→的长度叫做复数 ＝ ＋ i 的模，记作 | | 或 | ＋ i| ，即 | |
OZ z a b z a b z
2 2
＝| a＋bi| ＝ a ＋ b .
二、复数的几何意义
复数 z ＝a＋ bi ―→复平面内的点 Z( a，b) ―→平面向量 OZ .
三、复数的运算
1．复数的加、减、乘、除运算法则
设 z 1＝a＋bi ，z2 ＝c＋di( a，b，c ，d∈R) ，则：
(1) 加法： z1 ＋z2 ＝( a＋bi) ＋( c＋di) ＝( a＋c) ＋( b＋d)i ；
1 2
(2) 减法： z －z ＝( a＋bi) －( c＋di) ＝( a－c) ＋( b－d)i ；
1 2
(3) 乘法： z ·z ＝( a＋bi) ·(c＋di) ＝( ac－bd) ＋( ad ＋bc)i ；
z1 a＋bi a＋b c －d
(4) 除法： ＝ ＝
2 ＋ i ＋ －
z c d c d c d
ac＋bd ＋ bc－ad
＝ 2 2 ( c＋di ≠0) ．
c ＋d
2．复数加法、乘法的运算律
对任意 z 1，z2 ，z3 ∈C，有 z1＋z2 ＝z2 ＋z1， ( z 1＋z2) ＋z3 ＝z1 ＋( z2 ＋z3 ) ；z 1 ·z2 ＝z2 ·z1，
( · ) · ＝ ·( · ) ， ( ＋ ) ＝ ＋ .
z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1z2 z1z3
[ 小题能否全取 ]
1．( 教材习题改编 ) 已知 a∈R，i 为虚数单位，若 (1 －2i)( a＋i) 为纯虚数， 则 a 的值等
于( )
A．－ 6 B．－ 2
C．2 D．6
1
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