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动点问题
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 , 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目 . 解决这类问题的关键是动中求静 , 敏捷运用有关数学学问解决问题 .
关键: 动中求静 .
数学思想:分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想
中考数学(动点问题)考试分析
2021 2021 2021
动点个数
两个
一个
两个
特别菱形两边上移动
特别直角梯形三边
抛物线中特别直角梯形底边
问题背景
上移动
上移动
探究相像三角形
探究三角形面积函
探究等腰三角形
考查难点
数关系式
①菱形性质
①求直线解析式
①求抛物线顶点坐标
考
②特别角三角函数
②四边形面积的表
②探究平行四边形
③求直线、抛物线解析式
示
③探究动三角形面积是定值
点
④相像三角形
③动三角形面积函
④探究等腰三角形存在性
⑤不等式
数④矩形性质
①菱形是含 60°的特别菱形;
①观看图形构造特
①直角梯形是特别的(一底
△AOB是底角为 30°的等腰三角
征适当割补表示面
角是 45°)
特
形;
积
②点动带动线动
②一个动点速度是参数字母;
③探究相像三角形时,按对应角
②动点按到拐点时间分段分类
③线动中的特别性(两个交 点 D、E 是定点;动线段 PF
不同分类争论; 先画图, 再探究;
③画出矩形必备条
长度是定值, PF=OA)
点
④通过相像三角形过度,转化相
件的图形探究其存
④通过相像三角形过度,转
似比得出方程;
在性
化相像比得出方程;
⑤利用 a、t 范畴,运用不等式求
⑤探究等腰三角形时,先画
出 a、t 的值;
图,再探究(按边相等分类
争论)
共 ①特别四边形为背景;
②点动带线动得出动三角形;
同 ③探究动三角形问题(相像、等腰三角形、面积函数关系式) ;
④求直线、抛物线解析式;
点 ⑤探究存在性问题时,先画出图形,再依据图形性质探究答案;
典型例题(历年真题)
一、三角形边上动点
21、如图①,在△ ABC中, AB=AC,BC=acm,∠ B=30°.动点 P 以 1cm/s 的速度从点 B 动身,沿折线 B﹣A﹣C 运动到点 C时停止运动.设点 P 动身 x s 时,△ PBC的面积为 y cm .已知 y 与 x 的函数图象如图②所示.请依据图中信息,解答以下问题:
2
试判定△ DOE的外形,并说明理由;
当 a 为何值时,△ DOE与△ ABC相像?
考点:相像三角形的性质;等腰三角形的判定与性质;解直角三角形;
分析:(1)第一作 DF⊥OE于 F,由 AB=AC,点 PP以 1cm/s 的速度运动,可得点 P 在边 AB和 AC上的运动时间相同,即可得点 F 是 OE的中点,即可证得 DF是 OE的垂直平分线,可得△ DOE是等腰三角形;
(2)设 D( 3 a ,
3
3 a 2 ),由 DO=D,E AB=AC,可得当且仅当∠ DOE=∠ABC时,△ DOE∽△ ABC,
12
然后由三角函数的性质,即可求得当 a= 4 3 时,△ DOE∽△ ABC.
3
解答:解:(1)△ DOE是等腰三角形.
∵DO=D,E
AB=AC,
作 DF⊥OE于 F, ∴当且仅当∠ DOE=∠ABC时,△ DOE∽△ ABC,
∵AB=AC,点 PP以 1cm/s 的速度运动,
∴点 P在边 AB和 AC上的运动时间相同,
∴点 F 是 OE的中点,
∴DF是 OE的垂直平分线,
在 Rt△DOF中, tan ∠ yD
DOF=xD
DOF=
1 a ,
4
∴DO=D,E
由 1 a=tan30 °= 3 ,得 a = 4 3 ,
∴DOE是等腰三角形.
4 3 3
(2)由题意得: D( 3 a,
3
3 a 2 ),
12
∴当 a= 4 3
3
时,△ DOE∽△ ABC.
点评:此题考查了相像三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等学问.此题综合性较强,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.
2、(2021. 郴州)如图, Rt△ ABC中,∠ A=30°, BC=10cm,点 Q在线段 BC上从 B向 C运动,点 P在线段 BA上从 B向 A 运动. Q、P 两点同时动身,运动的速度相同,当点 Q到达点 C时, 两点都停止运动.作 PM⊥PQ交 CA于点 M,过点 P分别作 BC、CA的垂线,垂足分别为 E、F.
求证:△ PQE∽△ PMF;
当点 P、Q运动时,请猜想线段 PM与 MA的大小有怎样的关系?并证明你的猜想;
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设 BP=x,△ PEM的面积为 y,求 y 关于 x 的函数关系式,当 x 为何值时, y 有最大值, 并将
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