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概率论期末考试试题 1.全概率公式 贝叶斯公式 1.某保险公司把被保险人分成三类：“谨慎的”、“一般的”和“冒失的”。统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.3。并且它们分别占投保总人数的20%，50%和30%。现已知某保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”保险户的概率是多少？ 解：设Ai、A2、A3分别表示“谨慎的” “一般的”和“冒失的”保险户，B表示“发生事故”，由贝叶斯公式知 P(A1|B)??P(A1)P(B|A1)P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)0.2?0.05?0.0570.2?0.05?0.5?0.15?0.3?0.30(1) (2) 考生在考试中答对第一道题的概率; 若考生将第一题答对了, 那么这题是平时没有练习过的概率. 2.老师在出考题时, 平时练习过的题目占60%. 学生答卷时, 平时练习过的题目在考试时答对的概率为90% , 平时没练习过的题目在考试时答对的概率为30%, 求: 3. 在蔬菜运输中，某汽车运输公司可能到甲、乙、丙三地去拉菜的概率依次为0.2,0.5,0.3。在三地拉到一级菜的概率分别为10%，30%，70%。 1）求能拉到一级菜的概率；2）已知拉到一级菜，求是从乙地拉来的概率。 A表示拉到一级菜，B1表示从甲地拉到，B2表示从乙地拉到， B3表示从丙地拉到 则P(B1)?0.2，P(B2)?0.5；P(B3)?0.3 P(AB1)?0.1，P(AB2)?0.3P(AB3)?0.7 解：1、 解：设事件则由全概率公式得 , P(A)??P(Bi)?P(A/Bi)=0.2?0.1?0.5?0.3?0.3?0.7?0.38―（7分） i?1(2)拉的一级菜是从乙地拉得的概率为 3P(B2A)? P(B2)?P(AB2)0.5?0.3??0.3947―――――――――（10分） P(A)0.382.一维随机变量 5.设随机变量X在区间[0,1]上服从均匀分布，求随机变量 Y=e2X的密度函数. 6. 已知X~N(?,?2),用分布函数法证明：Y?证明: 设 X~fx(x),Y?aX?b, 则a?0时,Y~ fX-?~N(0,1). ?1?b(ya)(y)=fYYa ?X???FY(y)?P?Y?y???????y??P?X??y????FX(?y??)??e2???(?y????)22?2?(?y??)?fX(?y??)??fY(y)?FY?(y)?FX?Y~N(0,1)7.设随机 7.变量X的密度函数 ?1e2??y22 ?c?f(x)??1?x2?0?x?1 x?1的分布函数. 求（1）c的值；（2） 1（3）EX (4)XP{X?}；2解： (1)由密度函数的性质 ?+?-?f(x)dx?1得： +??+?-?f(x)dx??c1?x2-?dx??1c1?x2-1dx?1 故c= 1? --------------------------------（4分） 111111 (2) ---------- P{X?}??21dx?arcsinx|21?2??2?32?1?x2+?+?1xxxf(x)dx?dx?(3)EX= ?-??-??1?x2?-1?1?x2dx?0---（10分） x?0?0?x0?x?1， 8.设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??A?1x?1?求:(1)系数A; (2)X的分布密度f(x); (3) （7分） 解： (1)A=1;(2) P?0?X?0.25? ?1 0?x?1?;(3)0.5 f(x)??2x?0 其它?3.二维随机变量 10.设（X，Y）的分布为 Y X -1 0 1 -1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 证明X与Y不相关，也不独立。 证明： cov（X，Y）=EXY-EXEY --------（1分） 而EXY=0EX=0，EY=0--------------（3分） ?XY?下证独立性 cov(X,Y)?0故X与Y不相关。--------（5分