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弹性力学计算题 三．试确定以下两组应变状态能否存在(K,A,B为常数), 并说明为什么？ (1) (2) ?x?K(x2?y2),?y?Ky2,?xy?2Kxy (存在) ?x?Axy2,?y?Bx2y,?xy?0 (不存在) 四．计算题 1. 图中所示的矩形截面体，受力如图所示，试写出其边界条件。 解：主要边界条件， x?b，?x?0;?xy?p x??b，?x?q;?xy?0 次要边界条件，在y?0上， (?xy)y?0?0，满足； ? bb?b(?y)y?0dx??F Fb ??b22.图中所示的矩形截面体，在o处受有集中力F和力矩M?Fb/2作用，试用应力函数??Ax3?Bx2求解图示问题的应力分量，设在A点的位移和转角均为零。 (?y)y?0xdx?? 解：应用应力函数求解， 4 （1） 校核相容方程???0，满足 （2） 求应力分量，在无体力时，得 ?y?6Ax?2B，?y??xy?0 考察主要边界条件， x??b，?y??xy?0，均满足。 考察次要边界条件，在y?0上， (?xy)y?0?0，满足； F； ??b2bbFFbA??，得。 (?)xdx????byy?0228bb(?y)y?0dx??F，得B??代入，得应力的解答， ?y??F3x(1?)，?x??xy?0 2b2b4上述应力已满足了???0和全部边界条件，因而是上述问题的解。 3. 图中所示的悬臂梁，长度为l，高度为h，l??h，在边界上受均匀分布荷载q，试验应力函数 ??Ay5?Bx2y3?Cy3?Dx2?Ex2y 能否成为此问题的解？如可以，试求出应力分量。 4. 已知如图所示矩形截面柱，承受偏心荷载P 的作用。若应力函数??Ax?Bx，试求各应力分量。 32 解：（1）检验相容方程是否满足，由?(?)?0 4（2）求应力分量： ?x?0 ?y?6Ax?2B ?xy?0 （3）由边界条件：y?h边，由圣维南原理可得： ?a?a(?y)y?hdx??p 可得：B??p/4a ?a?a(?y)y?0xdx??p?可得：A??a 2p 28a（4）应力分量为： ?x?0 ?y??3ppx? 22a4a?xy?0 5. 试推导平面问题的y方向的平衡微分方程解： ??y?y???xy?x?fy?0 x ? ? xyyx? y ? x f C f x ? ? xy ? xy ? dx ?x ? ? x ? x ? dx ?x yy ? ? yx ? yx ? dy ?y ? ? y? ? ?y dy y 以y轴为投影轴，列出投影平衡方程 ?Fx?0； (?y??(?xydy)dx??ydx?y ??xy?dx)dy??xydy?fydxdy?0?x??y约简之后，两边除以dxdy，得 ??y?y???xy?x?fy?0 2、考虑上端固定，下端自由的一维杆件，见题七图，只受重力作用， fx?0,fy??g（ρ为杆件密度，g为重力加速度），并设μ=0。 试用位移法求解杆件竖向位移及应力。（14分） （平面问题的平衡微分方程：位移分量表示的 应力分量表达式：σx?E?v?u(?)） 2(1?μ)?x?yE?u?vE?v?u(?μ)σ?(?μ)，，y221?μ?x?y1?μ?y?x?σy??xy?σx??yx，??fx?0??fy?0；用?x?y?y?xoxlρgτxy?解：据题意，设位移u=0，v=v(y)，按位移进行求解。 根据将用位移分量表示的应力分量代入平面问题的平衡微分方程，得到按位移求解平面应力问题的基本微分方