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概率习题答案3 第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量及其分布 习题1 设(X,Y)的分布律为 X\\Y 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 求a. 分析： dsfsd1f6 解答： 由分布律性质∑i?jPij=1, 可知 1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1, 解得 a=2/9. 习题2(1) 2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示： (1)P{a解答： P{a 习题2(2) 2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示： (2)P{0P{0习题2(3) 2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示： (3)P{Xa,Y≤b}. 解答： P{Xa,Y≤b}=F(+∞,b)-F(a,b). 习题3(1) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表： 试求： (1)P{12P{12 1/3a1/9 P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3} =P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3} =14+0+0=14. 习题3(2) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表： 试求： (2)P{1≤X≤2,3≤Y≤4}; 解答： P{1≤X≤2,3≤Y≤4} =P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4} =0+116+0+14=516. 习题3(3) 3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表： 试求： (3)F(2,3). 解答： F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+P(1,3)+P(2,1)+P(2,2)+P(2,3) =14+0+0+116+14+0=916. 习题4 设X,Y为随机变量，且 P{X≥0,Y≥0}=37, P{X≥0}=P{Y≥0}=47, 求P{max{X,Y}≥0}. 解答： P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0} =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0} =47+47-37=57. 习题5 (X,Y)只取下列数值中的值： (0,0),(-1,1),(-1,13),(2,0) 且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出(X,Y)的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布. 解答： (1)因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量(X,Y)的联合概率分布. 因(X,Y)只取上述四组可能值，故事件： {X=-1,Y=0}, {X=0,Y=13, {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1} 均为不可能事件，其概率必为零. 因而得到下表： X\\Y 01/31 -1 01/121/3 0 1/600 2 5/1200 (2)P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0} =0+16+512=712, 同样可求得 P{Y=13=112,P{Y=1}=13, 关于的Y边缘分布见下表： Y 01/31 pk 7/121/121/3 习题6 设随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,102,102,0), 其概率密度为 f(x,y)=1200πex2+y2200, 求P{X≤Y}. 解答： 由于P{X≤Y}+P{XY}=1，且由正态分布图形的对称性，知 P{X≤Y}=P{XY}, 故 P{X≤Y}=12. 习题7 设随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)={k(6-x-y),0(1)由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f(x,y)dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4. (2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0; 当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1; 设0≤x≤1,0≤y≤1, 有 F(x,y)=∫-∞x∫-∞yf(u,v)dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2. 设0≤x≤1,y1, 有 F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2. 最后，设x1,0≤y≤1, 有 F(x,y)=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫