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2021九年级数学上册 专题突破讲练 解决圆锥问题的四字秘诀试题（新版）青岛版 精 品 试 卷 解决圆锥问题的四字秘诀 关于圆锥的侧面展开图计算问题在中考中时常出现，这类问题的解答，可以用四个字来概括：一、二、三、四。其中： “一个转化”，是指将圆锥侧面问题转化为平面图形――扇形问题； “二个对应”，是指圆锥的底面周长对应着扇形的弧长，圆锥的母线长对应着扇形的半径； “三个图形”，是指圆锥侧面问题常常需要用到圆形、扇形、直角三角形来解决； “四个公式”，是指圆锥侧面问题需要用 222 ①l=r+h，其中，如图，圆锥的底面半径r，圆锥母线ι，圆锥的高h，构成直角三角形； n?l2 3601③S侧=?2πr?ι=πrι 22④S全=?rl??r。 ②S侧= 圆锥侧面问题公式的灵活应用 圆锥侧面问题四个公式共有5个量：l、h、r、n、S侧，由于每个公式中只有三个量，从而只要知道其中的两个量，就可以将另外三个量利用方程或方程组求出来。 一、计算圆心角的度数 例题1 （浙江中考）若圆锥的轴截面为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥侧面展开图的圆心角是（ ） A. 90° B. 120° C. 150° D. 180° 解析：因为此圆锥为正圆锥，所以圆锥底面圆的直径等于展开图扇形的半径，然后利用弧长公式求解。 解：设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为n，半径为r，则圆锥的底面直径也为r，根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得 n?r??r，解得n=180°。 180答案：D 点拨：在解决圆锥与展开图有关问题时，可以利用“圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长”这一规律解决问题。 二、计算圆锥的底面积 例题2 如图，圆锥形冰淇淋盒的母线长是13cm，高是12cm，则该圆锥形底面圆的面积是（ ） 精品试卷 精 品 试 卷 2 A. 10πcm B. 25πcm C. 60πcm D. 65πcm 解析：作出圆锥的轴切面图，再根据等腰三角形“三线合一”的性质转化为直角三角形，利用勾股定理求出圆锥底面圆的半径，进而求出其面积。 解：作出圆锥的轴切面图及高，如图，则AB＝13cm，AD＝12 cm，AD⊥BC，BC＝2BD，所以BD＝5 cm，因而 22 底面圆的面积为πr＝25π（cm），故选B。 2 2 2 答案：B 点拨：圆锥的轴切面图为等腰三角形，等腰三角形底边上的高为圆锥的高，腰为圆锥的母线长，底边为圆锥底面圆的直径，圆锥轴切面的相关计算通常转化为直角三角形，再利用勾股定理进行计算。 三、计算圆锥的侧面积 例题3 在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为22，则这个圆锥的侧面积（ ） A. 4π B. 3π C. 22π D. 2π 解析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再代入圆锥侧面积的公式计算即可。 2解：∵圆锥的底面半径为r=1，高为22，∴圆锥的母线长l=1?22??2?3，∴圆锥的侧面积=?rl=π ×1×3=3π，故选B。 答案：B 点拨：这类题要熟记圆锥的侧面积公式S=πrl及圆锥的高h、母线l、底面半径为r的关系：l?r?h。解决这类问题的方法有：①列式计算，②运用方程思想列方程来计算。 计算线路最短问题 满分训练 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，一只小虫从点A出发，绕侧面爬行一周，再回到点A的最短的路线长是多少？ 222精品试卷 精 品 试 卷 解析：我们知道“两点之间，线段最短”，沿母线SA作侧面展开图如图，本题实际是求将圆锥的侧面沿着母线OA展开，求点A到A′的距离AA′。 解：将圆锥沿母线SA作侧面展开图，得扇形O AA′， 设扇形的圆心角为θ，因为圆锥的底面半径为r=1，母线长为3，根据2πr=2π×1= ??l180，得 ???3180，所以θ=120°。即扇形的圆心角∠AOA′为120°，作OD⊥AA′，垂足为D，在Rt△AOD中，∠ OAD=30°，OA=3。 所以OD= 答案：33 333