《16.2 线段垂直平分线的性质在 实际生活中的应用》教学设计教学目标.docVIP

PAGE PAGE 4 16.2 线段垂直平分线的性质在 实际生活中的应用教学设计 一、 【教学目标】 1、理解线段垂直平分线的性质定理，能灵活运用线段垂直平分线的性质定理结合对称变换解决最短路径问题。 2、通过认识上的升华，使学生体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想.并充分认识到数学来源于生活最终又服务于生活。 3、目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用线段垂直平分线的性质通过轴对称变换将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。 二、【重点难点】 重点：用线段垂直平分线的性质通过对称变换将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题。 难点：实际问题与数学问题之间的转化以及最短路径方案的设计和验证。 突破难点的方法：通过教师的引导启发，先让学生思考直线a异侧两点线段和最小，为学生学习直线a同侧两点的线段和最小作好铺垫，利用轴对称性质，作任意一个点的对称点，连接对称点和另一点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解，即把不在同一条直线上的两条线段转化到同一条直线上来解决问题.在证明最短时，教师适时点拨在a选取一点不与C重合的任意一点，通过所画与所要求证的最小值进行比较从而得到所作的线段和是最短的。 三、教学过程设计 （一）知识储备： 1、如果两个图形关于某一条直线成轴对称，对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 2、性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 3、逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 实际问题一：两点在直线异侧 若在A与B之间有一条小河L，有一天，方丈要求小和尚先从住处A出发到河边a取水，再把水送到庙宇B，小和尚在何处取水，使走的路程最短呢？ （让学生回忆学过的有关说明线段最短的结论“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，引导学生用数学符号和图形语言表达数学问题。） 数学问题：在直线 L 上求一点 P , 使 PA + PB 值最小 。 作法：如图，连接 AB ，与 l 交点 即 为 P 。 【设计意图：让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为把“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫。】 解题技巧1 “两点一线问题”，当两点在直线异侧时，直接连接两点，线段与直线的交点就是所求的点。 实际问题二：两点在直线同侧 若在A与B同侧有一条小河L，方丈还是要求小和尚先从住处A出发到河边取水，再送到庙宇B，小和尚又该如何走，使走的路程最短呢？ 数学问题：如图，在直线 L 上求一点 P , 使 PA + PB 值最小 。 问题：（1）让学生分析这两个问题之间，有什么相同点和不同点？ （2）我们能否把A、B两点转化到直线l 的异侧呢？ （3）利用什么知识可以实现转化目标？ 根据老师的引导和学生的学习得出解决问题的方法 作法：作点 B 关于 L 的对称点 B ，连接 AB ，与 L 交点 即 为 C 。 原理：两点之间线段最短，AC+CB 最小值为 A B＇。 【设计意图】通过设置问题串，由问题引领学生的思考，通过学生对这道题的思考、尝试在图上找点、小组合作交流、老师的引导、利用学生已有的知识让学生让学生明白解决这个问题应该运用垂直平分线的性质，通过轴对称变换，将两点在直线同侧的问题转化为两点在直线异侧的问题，提高学生逻辑思维能力．让学生在思考的过程中，感悟转化思想.数学解题过程实际上就是把问题由陌生向熟悉的转化过程，注意类比以前解决过的问题，找出其共性和差异性，应用在解题中，通常表现为构造熟悉的事例模型，在待解决问题和已解决问题之间进行转化。 】 学会验证： 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 为了突破这一难点，老师引导学生思考：若不在C点，就应该在直线l的另一点C′，教师引导在直线l上任取一点C’，学生小组合作画图找到这时的距离和，再与之前的距离和比较大小，并强调说理的依据。学生可能会对只选一个C′点不放心，因此可让学生在草稿纸上再选一个与C不重合的点去证明，最后思考“C′”的作用是什么？ 为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C’，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C’B.如下： 证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称， 所以直线l是线段BB′的垂直平分线． 因为点C与C′在直线l上， 所以BC＝B′C，BC′＝B′C′. 在△AB′C′中，AB′AC′＋B′C′， 所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′， 所以AC＋BC＜AC′＋C′B. 追问1：证明AC +BC最短时，为什么要在直线l上任取一点 （与点C但不重合