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等差、等比数列的性质总结 等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：an?an?1?d（d为常数）（n?2）； 2．等差数列通项公式： an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*) ， 首项:a1，公差:d，末项:an 推广： an?am?(n?m)d． 从而d? 3．等差中项 （1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?a?b或2an?am； n?m2A?a?b （ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列 ?an?是等差数列 ?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2 4．等差数列的前n项和公式： Sn?n(a1?an)n(n?1)d1?na1?d?n2?(a1?d)n?An2?Bn 2222（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数2n?1时，an?1是项数为2n+1的等差数列的中间项 S2n?1??2n?1??a1?a2n?1??2?2n?1?an?1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数 乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列． ?（2） 等差中项：数列 ?an?是等差数列 ?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2． ⑶数列?an?是等差数列?an?kn?b（其中k,b是常数）。 （4）数列?an?是等差数列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列． ? 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项an?a1?(n?1)d ②奇数个数成等差，可设为?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差为d）； ③偶数个数成等差，可设为?，a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（注意；公差为2d） 8..等差数列的性质： （1）当公差d?0时， 等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d； 前n和Sn?na1?为0. （2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。 （3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有 n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是关于n的二次函数且常数项222am?an?2ap. 注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2????， （4）若?an?、?bn?为等差数列，则??an?b?，??1an??2bn?都为等差数列 (5) 若{an}是等差数列，则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，?也成等差数列 （6）数列{an}为等差数列,每隔k(k?N)项取出一项(am,am?k,am?2k,am?3k,???)仍为等差数列 （7）设数列?an?是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和 1.当项数为偶数2n时， *S奇?a1?a3?a5?????a2n?1?n?a1?a2n?1??nan 2n?a2?a2n?S偶?a2?a4?a6?????a2n??nan?1 2S偶?S奇?nan?1?nan?n?an?1?an?=nd S奇nana??n S偶nan?1an?1 2、当项数为奇数2n?1时，则 ?S奇n?1?S2n?1?S奇?S偶?(2n?1)an+1??S奇?(n?1)an+1??? ??S奇?S偶?an+1S偶n???S偶?nan+1?（其中an+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）． （8）?an?、{bn}的前n和分别为An、Bn，且 则 An?f(n)， Bnan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1). bn(2n?1)bnB2n?1（9