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《用集合图解决容斥问题》教学设计 学校 ：临西县第二小学 设计者：胡庆娥 时间：2021.3.3 微课名称 用集合图解决容斥问题 教学对象 五年级学生 时间长度 8分钟 教学目标： 1.结合具体事例，经索用集合图表示并解答简单容斥问题。 2.体验用图描述事物的直观性，认识到许多实际问题可以借助画图来分析和解决。 教学资源：ppt 课件、录屏软件 教学过程： 温故知新:集合图就是用一个封闭图形如椭圆、长方形、正方形等等表示一个整体。如:用椭圆表示全班40名学生，用椭圆表示合唱小组人数，用长方形表示喜欢吃苹果的人数。容斥问题包含一个重要的原理——包含排除原理，如用图表示30以内4和6的倍数。用画集合图的方法解决容斥问题直观、形象、易懂。 问题 一： 五（1）般有40名学生，其中男生有19人，你能用图表示全班人数和男生人数的关系吗？ 男生19名 男生19名 全班40名学生 分析：我们用一个大绿色椭圆表示全班40名学生，19名男生用黄色小椭圆表示，从图中就很明显地看出全班学生包含男生人数，像这种整体和部分的包含关系，就可以用一个图包含另一个图的方式来表示。 问题二： 五（1）班40名学生中有18名学生参加数学小组，12名学生参加合唱小组，这些学生每人只能参加一个小组。五（1）班既没有参加数学小组也没有参加合唱小组的学生有多少名？ 全班有40名学生 全班有40名学生 18人参加数学小组 18人参加数学小组 12人参加合唱小组 12人参加合唱小组 分析：我们用蓝色的大长方形表示全班的40名学生，用黄色表示参加数学小组的认数，用橘色表示参加合唱小组的人数。从图中很明显地看出五（1）班既没有参加数学小组也没有参加合唱小组的学生是图中的蓝色部分。 列式计算：40-18-12=10（名） 答：五（1）班既没有参加数学小组也没有参加合唱小组的学生有10名。 总结：看图解题，直观易懂，整体与部分的关系一目了然。 问题三： 在学校春季运动会上，五（1）班学生参加了两项比赛。有18名学生参加田径比赛，10名学生参加篮球比赛，其中有8名学生既参加了田径比赛又参加了篮球比赛。五（1）班有多少名学生参加比赛？ 参加篮球比赛的学生10人参加田径 参加篮球比赛的学生10人 参加田径 参加田径比赛的学生18人 8人 8人 田径和篮球比赛都参加的学生 分析：我们用蓝色椭圆表示有18名学生参加田径比赛，用黄色椭圆表示有12名学生参加篮球比赛。有8名学生既参加了田径比赛又参加了篮球比赛是什么意思呢？也就是蓝色椭圆和黄色椭圆相交了，我们用灰色表示，这部分表示的是既参加田径比赛又参加篮球比赛的人数，那参加活动的共有多少人呢？也就是图中的现在蓝色部分+灰色部分+黄色部分。我们先用18+10=28（名），这样相交部分算了两次，所以我们要排除掉一次，应该再减去一个8. 列式为：18+10-8=20（名） 答：五（1）班有20名学生参加比赛。 总结：这是典型的容斥问题，容斥问题涉及到一个重要原理——包含和排除原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。解决这类问题我们要先画图，根据图意再列式计算。 练习： 新华学校组织学生参加周末公益活动。有45人参加周六的活动，67人参加周日的活动，其中有22人这两天的活动都参加。 A(45人） A(45人） B（67人） C C （1）图中A表示哪部分学生？B和C呢？ （2）至少参加一天活动的有多少人？ （3）只参加周日活动的有多少人？ 思考：（1）图中的A表示参加周六的活动的人数。图中的B表示参加周日的活动的人数。C表示这两天的活动都参加的人数。 至少参加一天活动的人数有：45+67-22=90（人） 只参加周日活动的人数有：67-22=45（人） 归纳总结：用集合图帮忙解决了包含、排除问题，形象，直观，易懂。画图是我们解决问题的拐杖，它帮我们把复杂问题简单化，希望同学们在今后的学习中学以致用。