数学模型中的反问题逆问题.pdfVIP

8 数学模型中的反问题 向下运动 向上运动 风筝 1 数学模型竟赛中有很多涉及反问题。 如 2010 国赛中 A 题和 2011 年美赛中 A 题都涉及 反问题。 顾名思义，反问题是相对于正问题而言的。正问题的定义为：按着自然顺序来研 究事物的演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。自然顺序的定义为：不受任何 限制和约定俗成的顺序，一般地都认为他们是自然而然的，无须多加解释的。在一般地语 境下，认为这些顺序都是是前提条件的。如时间顺序、空间顺序、因果顺序，等等。纯 粹的自然顺序的例子是第一，第二， 第三这种升序； 或者反过来的倒序； 约定俗成的例子是 上北下南左西右东。 反问题的定义为：根据事物的演化结果，由可观测的现象来探求事物的内部规律 或所受的外部影响，由表及里，索隐探秘，起着倒果求因的作用。可以看出，正、反 两方面都是科学研究的重要内容。但相对正问题，反问题求解难大，计算量大。许多 人知道求解问题的思路，但由于选用计算方法不适当，在几天内求不出计算结果，失 去获奖机会。 尽管一些经典反问题的研究可以追溯很早， 反问题这一学科的兴起却是近几十年 来的事情。在科学研究中经常要通过间接观测来探求位于不可达、不可触之处的物质 的变化规律；生产中经常要根据特定的功能对产品进行设计，或按照某种目的对流程 进行控制。这些都可以提出为某种形式的反问题。可见，反问题的产生是科学研究不 断深化和工程技术迅猛发展的结果，而计算技术的革命又为它提供了重要的物质基 础。 现在，反问题的研究已经遍及现代化生产、生活、研究的各个领域。简单的概 括不足以说明问题，我们下面具体介绍一些常见的反问题类型，希望大家能够对它有 一个概括的了解 . 第一节反问题的例子 例 1 物体下落距离 L 与时间 T，正问题是：已知物体的高度，测量下落时间，即 t=t(x). 反问题是：已知物体下落时间，求物体的高度。 当人们不知道自由落体运动规律 x=0.5gT 2 之前，能用时钟测量物体下落时间， 但反过来，给定下落时间，测量物体高度比较难。对于没有读中学的人，能完成时钟测量 物体下落时间的试验。但给他物体下落时间，测量物体的下落高度是不容易的事情。 2 例 2 年龄与身高。正问题是，根据年龄 T，每周岁测身高 H ，得到身高 H 与年龄 T 的 关系 H=H(T). 反问题是：已知身高 H ，求年龄 T ，即求关系 T=H(T). 例 3 速度 V 与轨道形状 z=f(x) ，其摩擦系数为 μ，z 为高度，初始速度为 V0 ，末 速度为 Ve=V(y=H) . 正问题是，已知轨道形状 z=f(x) ，求末速度为 Ve .反问题是：给定 末速度为 Ve.求轨道形状 z=f(x) 。对大学生，正问题能求出来，但反问题有些难。 由上面几个例子，可以在数学上定义正问题为 y=f(x) ，定义域为 D ，值域为 V 。 反问题为 x=g(y). 由高等数学可知，若函数 f(x) 在 D 上是单调的，则反函数 g(y) 存在 且唯一。 相对正问题而言，反问题计算量大，选用适当的计算方法是成功求解反问题的关 键。因而要求在求反问题之前，要求学生掌握基本的计算方法。 3 第二节计算方法 2.1 方程求根 在数学建模中，求解方程的根是经常遇到的。常用求根方法有迭代法，二分法， 牛顿法，极小值法，一维寻查法，格子