倍长中线与截长补短法.pdf

初中数学辅助线专题 （辅助线口诀） 辅助线一般作法 初中几何常见辅助线作法口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。 分析综合方法选，困难再多也会减。 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 一、 倍长法 1、 有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍 此线段，构造全等三角形。 例如：如图4-1：AD为△ABC的中线，且∠1 ∠2， ∠3 ∠4，求证：BE+CFEF 证明：廷长ED至M，使DM DE，连接 CM，MF。在△BDE和△CDM中， BD CD （中点定义） ∠1 ∠5 （对顶角相等） ED MD （辅助线作法） ∴△BDE≌ △CDM （SAS ） 又∵∠1 ∠2，∠3 ∠4 （已知） ∠1+∠2+∠3+∠4 180° （平角的定义） ∴∠3+∠2 90° 即：∠EDF 90° ∴∠FDM ∠EDF 90° 在△EDF和△MDF中 ED MD （辅助线作 法） ∠EDF ∠FDM （已证） DF DF （公共边） ∴△EDF≌ △MDF （SAS ） ∴EF MF （全等三角形对应边相等） ∵在△CMF中，CF+CMMF （三角形两边之和大于第三边） ∴BE+CFEF 在三角形中线时，常廷长加倍中线，构造全等三角形。 例如：如图5-1：AD为 △ABC的中线，求证： AB+AC2AD 分析：要证AB+AC2AD， 由图想到： AB+BDAD, AC+CDAD， 所以有AB+AC+ BD+CD AD +AD 2AD， 左边比要证结论多BD+CD， 故不能直接证出此题， 而由2AD想到要构造2AD， 即加倍中线， 把所要证的线段转移到同一个三角形中去 证明：延长AD至E，使DE AD，连接BE，CE ∵AD为△ABC的中线 （已知） ∴BD CD （中线定义） 在△ACD和△EBD中 BD CD （已证） ∠1 ∠2 （对顶角相等） AD ED （辅助线作法） ∴△ACD≌ △EBD （SAS ） ∴BE CA （全等三角形对应边相等） ∵在△ABE中有：AB+BEAE （三角形两边之和大 于第三边） ∴AB+AC2AD。 （常延长中线加倍，构造全等三角形） 练习 • 已知△ABC，AD是BC 边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边 各向外作等腰直角三 角形，如图5-2 ， 求证 EF 2AD。 二、截长补短法作辅助线 要证明两条线段之和等于第三条线段， 可以采取 “截长补短”法。 截长法即在较长线段上截取一段等于两 较短线段中的一条，再证剩下的一段等于 另一段较短线段。 所谓补短，即把两短线段补成一条，再 证它与长线段相等。 让我们来大显身手吧！ 例如：已知如图6-1： 在△ABC中，