郭健从古典几何到现代几何.ppt

在空间建立坐标系，可以把点与有序三实数组建立对应。从而，可用方程 F（x,y,z）=0表示曲面，用方程组 表示空间的曲线。 主要研究二次曲面，如：椭球面、双曲面、抛物面及二次柱面等 2.空间解析几何 第三十页，共43页。 三、微分几何 在解析几何的基础上，如果要研究更复杂的图形，这些图形可能对应比较复杂的代数方程，甚至不能用代数方程来表示，这时需要借助微积分作为工具，由此产生了微分几何。 第三十一页，共43页。 郭健从古典几何到现代几何 第一页，共43页。 前言 几何学源远流长，文献丰富。 在长达数千年的人类历史长河中，几何史就是数学史、科学史、人类文明史的一个缩影，从中可以看到人类社会前进的足迹。 第二页，共43页。 前言 几何学特色鲜明，多彩多姿。 从古希腊时代起，就形成了一套科学的研究方法，严密的逻辑体系。两千多年来，无论是思想观念的更新，亦是科学理论的创立，几何学都扮演了开路先锋的角色。 第三页，共43页。 前言 几何学应用广泛，无处不在。 从现代文明的成果看，无论是火箭、卫星的研制发射，还是人类生存空间的保护和改善，无一不用到几何的知识；再从推动科学的进步看，几何学的空间直观引起的直觉思维，构造几何模型产生的结构观念，追求严密逻辑走出的公理化道路，无一不渗透到数学乃至科学的各个领域。 第四页，共43页。 古典几何泛指第一流的几何学家及其相应的几何著作，包括：欧氏几何、射影几何、解析几何、非欧几何等多个方面。 现代几何主要是指微分几何，它是由高斯、黎曼等人所奠基，再由加当、陈省身等人发扬光大。 前言 第五页，共43页。 一、欧氏几何和欧氏空间 欧几里得（Euclid,公元前330—公元前275）的《几何原本》使几何学真正成为一门科学。 几何，英文为“Geometry”，是由希腊文演变而来的，其原意为“土地测量”。我国明代徐光启翻译《几何原本》时，将“Geometry”一词译为“几何学”，就是从其音译而来。 第六页，共43页。 1.《几何原本》介绍 《几何原本》共分十三卷，给出了467个命题，几乎涵盖了前人所有的数学成果。全书精心编排，把命题依照彼此的逻辑关系，从简单到复杂，将内容按照顺序排列起来是欧几里得最成功的创造。 第七页，共43页。 1.《几何原本》介绍 第一卷是全书逻辑推理的基础，给出了什么是点、线、面等23个定义，5个公理，由此讨论三角形全等、边角关系、垂线、平行线、平行四边形、多边形、勾股定理等。 第八页，共43页。 1.《几何原本》介绍 五条公设是： （1）从每个点到每个别的点必定可引直线； （2）直线可以无限延长； （3）以任一点为中心，任意长为半径可以作圆； （4）所有直角都相等； （5）若一直线与两条直线相交，且同侧内角和小于 两直角，则此两直线必在该侧相交。 第九页，共43页。 1.《几何原本》介绍 五条公理是： （1）等于同量的量相等； （2）等量加等量，和相等； （3）等量减等量，差相等； （4）彼此重合的东西是相等的； （5）整体大于部分。 第十页，共43页。 1.《几何原本》介绍 第二、三、四卷讨论线段的计算、直线形和圆的基本性质，共67个命题； 第六卷讨论相似形，共33个命题； 第十一至十三卷讨论立体几何理论，共70几个命题； 其它第五、七、八、九、十卷讨论比例和算术理论。 第十一页，共43页。 欧氏空间 后人把欧几里得建立的几何理论称为“欧氏几何”；成立欧氏几何的平面称为“欧氏平面”；成立欧氏几何的空间称为“欧氏空间”。 第十二页，共43页。 公理法 欧几里得在《几何原本》使用的这种建立理论体系的方法称为“公理法（原始公理法）”。 第十三页，共43页。 第Ⅴ公设 第Ⅴ公设等价于：过直线外一点只可作一直线平行于已知直线。在《几何原本》问世的两千年中，不少人试图去修正，尤其是第Ⅴ公设，被认为可由其余九条所证出，或用更简单或更直观的公理来代替。 第十四页，共43页。 罗氏几何 俄国数学家罗巴切夫斯基（Lobatchevsky，1793-1856）也希望能证明第Ⅴ公设，他企图通过否定第Ⅴ公设的等价命题来引出矛盾。但他推出了一个又一个新奇的结论后仍找不到逻辑上的矛盾，这些新的结论构成了一个不同的几何体系，后来被称为罗氏几何。 第十五页，共43页。 2.希尔伯特与《几何基础》 1899年法国数学家希尔伯特