20版数学《高中全程学习方略》必修三人教B版新教材8.2.4(一)配套课件.ppt

角度2　给值求值 【典例】若sin(π-α)=- ,则sin 等于 世纪金榜导学号(　　) 【思维·引】利用诱导公式与半角公式求解. 【解析】选B.由题意知sin α= 所以cos α=- 所以sin 【素养·探】 本例考查利用半角公式求值问题,突出考查数学抽象与 数学运算的核心素养. 本例条件不变求sin ,tan 的值. 【解析】由题意知sin α= 所以cos α=- 所以sin tan 【类题·通】 利用半角公式求值的思路 (1)看角:若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍,则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围:由于半角公式求值常涉及符号问题,因此求解时务必依据角的范围,求出相应半角的范围. (3)选公式:涉及半角公式的正切值时,常用 tan ,其优点是计算时可避免因开方 带来的求角的范围问题;涉及半角公式的正、余弦值时, 常先利用sin2 计算. (4)下结论:结合(2)求值. 【习练·破】 已知sin α=- 且πα π,求sin ,cos , tan 的值. 【解析】因为sin α=- ,πα π, 所以cos α=- .又 所以sin cos 【加练·固】 已知sin α= ,cos α= ,则tan 等于(　　) 【解析】选C.因为sin α= 0,cos α= 0, 所以α的终边落在第一象限, 的终边落在第一、三象 限,所以tan 0,故tan = 类型二　三角函数式的化简 【典例】化简: (0θπ). 世纪金榜导学号 【思维·引】利用倍角公式及半角公式解决,注意角度 的范围. 【解析】由θ∈(0,π),得0 ,所以cos 0, 所以 又(1+sin θ+cos θ) 故原式= 【素养·探】 本例考查利用半角公式化简三角函数式,突出考查数学 抽象与逻辑推理的核心素养. 本例三角函数式若变为: ,试化简. 【解析】因为0θπ,所以0 所以 又1+sin θ-cos θ=2sin cos +2sin2 =2sin 所以原式= 【类题·通】 化简问题中的“三变” (1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式. (2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切. (3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径,如升幂、降幂、配方、开方等. 8.2.4　三角恒等变换的应用(一) 1.半角公式 倍角公式的变形 sin2 =_________ ① cos2 =__________② tan2 =__________③ 一般地,①②③式可以变形为半角公式: 【思考】(1)半角公式是由以前学习过的哪些公式推导来的?如何推导的? 提示:倍角的余弦公式.推导如下: 在倍角公式cos 2α=1-2sin2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以 代替α,即得: cos α=1-2sin2 =2cos2 -1. 所以sin2 = ,cos2 = , tan2 .开方可得半角公式. (2)半角公式中的正负号能否去掉?该如何选择? 提示:不能.①若没有给出决定符号的条件,则在根号前 保留正负两个符号;②若给出α的具体范围(即某一区 间)时,则先求 所在范围,然后根据 所在范围选用符 号. (3)半角公式对α∈R都成立吗? 提示:公式 对α∈R都成立,但公式 要求 α≠(2k+1)π(k∈Z). 2.积化和差、和差化积公式 (1)积化和差公式 sin αcos β= [sin(α+β)+sin(α-β)], cos αsin β= [sin(α+β)-sin(α-β)], cos αcos β= [cos(α+β)+cos(α-β)], sin αsin β=- [cos(α+β)-cos(α-β)]. (2)和差化积公式 sin x+sin y=2sin sin x-sin y=2cos cos x+cos y=2cos cos x-cos y=-2sin 【思考】 (1)积化和差公式是由什么公式推导出来的? 提示:两角和与差的正弦、