（可修改）三垂线定理及逆定理.pptVIP

三垂线定理及逆定理 (二) .新. * 181h， 复习： 什么叫平面的斜线、垂线、射影？ 如果a α, a⊥AO， 思考a与PO的位置关 系如何？ a A P o α PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO 是PO在平面α内的射 影. .新. * 181h， PO 平面PAO a⊥PO ③ 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 PA⊥α a α ① PA⊥a AO⊥a ② a⊥平面PAO .新. * 181h， 1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交，也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平 面的一条斜线和平面内 的一条直线垂直的判定定理。 对三垂线定理的说明： 三垂线定理 P a A o α .新. * 181h， 例题分析： 例1、判定以下命题是否正确 (1)假设a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面 α内的射影，那么a⊥b。 ( ) 2°定理的关键:找一个平面〔基准面〕 强调：1°四线是相对同一个平面而言 (2)假设a是平面α的斜线，b是平面α内的直线， 且b垂直于a在β内的射影，那么a⊥b。 ( ) × × 三垂线定理 .新. * 181h， 例2: 如图,在△ABC中,∠ACB=90o,AB=8,∠BAC=60o, PC⊥平面ABC,PC=4,M为AB边上一个动点,求PM的最小值。 A P B C H 由三垂线定理知PH⊥AB 即点M在H时PM最小 解：作CH⊥AB于H，连PH 在△ABC中，易求得CH=2 则在RT△PCH中，PH=2 即PM的最小值为2 ∵ PC⊥平面ABC .新. * 181h， 例3、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1， AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C ∴BD1⊥AC A1 D1 C1 B1 A D C B ∴BD1⊥平面AB1C 证明：连结BD， 连结A1B 三垂线定理 ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD 又DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的 射影 而A1B是BD1在平面 ABB1A1内的射影 ∴BD1⊥AB1 .新. * 181h， 关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面)的垂线。至于射影那么是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。 利用三垂线定理证明a⊥b的一个程序：一垂、二射、 三证。 第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线，这时a、b便成平面上的一条直线与 一条斜线。 三垂线定理 第三、证明射影线与直线a垂直，从而得出a与b垂直。 .新. * 181h， 反过来,如果 a ⊥PO ,是否有 a⊥AO? a A P o α 三垂线定理的逆定理: 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线和斜线的射影垂直. .新. * 181h， 例4 四面体P-ABC中,PA⊥BC,PB⊥AC,求证PC⊥AB 解:过P作PH⊥面ABC， 连AH延长交BC于E，连BH延长交AC于F PH⊥平面PBC, PA⊥BC, 而PA在面ABC内的射影为AH, 由三垂线定理的逆定理知BC⊥AH 三垂线定理 那么H为△ABC的垂心 同理可证BF⊥AC P A B C E F G H 连CH延长交AB于G，于是CG⊥AB 而CH是PC在面ABC的射影 故PC⊥AB .新. * 181h， 请你解决一个实际问题： 道旁有一条河，此岸有电塔AB，高15m，只有水平测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？〔假设塔基B、道路处于同一水平面〕 B A C 90° D 45° 三垂线定理 .新. * 181h， 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 小 结 3°操作程序分三个步骤——“一垂二射三证〞 1°定理中四条线均针