成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题 4.第一次考试题.pdfVIP

成都七中高一竞赛数论专题 4.第一次考试题 (满分180分) p a,b a b (modp)p p a b (modp ).p p 2 1.(满分40分)设 是素数, 是整数, ,证明： p1  0!1. 2.(满分40分)设 是奇素数,证明：p p (pk)!(k1)!.(其中n!n(n1) 21,约定 ) k1 2 n d {0,1,2},i0,1,2, ,n. 3.(满分50分)设md d 3d 3  d 3 为一个正整数的平方,且 0 1 2 n i 证明：至少有一个d 1. i 4.(满分50 分)设 是大于1 的奇数,若p 4(p1)!4 p(mod p(p2)). 证明：p, p2 是孪生素数. (孪生 素数是指相差为2 的一对素数). 高一竞赛数论专题 4.第一次考试题解答 (满分180分) p a,b a b (modp)p p a b (modp ).p p 2 1.(满分40分)设 是素数, 是整数, ,证明： p a a(modp),b b(modp)p p 证明：因为 是素数,所以由Fermat小定理知道 . 于是ab(modp). 20分 abpq,qZ. p p 0 p 1 p1 2 p2 2 p p 从而 a (bpq) C b C b pqC b (pq)  C (pq) . p p p p p 0 p 1 p1 p p1 2 p 2 所以(bpq) C b C b pq b b p qb (modp ) p p 所以a b (modp ).p p 2 40分 p1 