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第二章 点、直线、平面之间的位置关系 人教 A 版 数学 O G 1平移法 2补形法 求异面直线 所成的角： 2. 空间四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC上点，且AE:ED=BF:FC=1:2，AB=CD=3，EF= ，求直线AB与CD所成的角 ∠EGF或其补角 故AB与CD的夹角为600. 1平移法 2补形法 求异面直线所成的角： 〔1〕：中位线 〔2〕：平行线分线段对 应成比例构造平行 2．2　直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1　直线与平面平行的判定 1.定义： 直线与平面没有公共点 直线与平面平行 α a 2.线面平行的判定定理 a α b 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行 如图已知 , , 且 . 求证: 1 ：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点, 求证：EF∥平面BCD 证明：连接BD，在△ ABD中， ∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF ∥ BD ∴EF ∥平面BCD BD 平面BCD ∩ 又∵EF 平面BCD， ∩ A B C D E F α 2 E、F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1棱BC、Ｃ1Ｄ1的中点，求证:EF ∥平面BB1DD1 D A B C A1 C1 D1 B1 证明：取BD中点O，那么OE 为△ BDC 的中位线 ∴Ｄ1ＯＥＦ为平行四边形 ∴EF ∥Ｄ1Ｏ ∴ EF ∥平面BB1DD1 又∵ EF　平面BB1DD1，Ｄ1Ｏ 平面BB1DD1 E F O ∴ＯＥ DC,Ｄ1Ｆ Ｃ1Ｄ1 ∴Ｄ1Ｆ ＯＥ = ∥ = ∥ = ∥ 3 两个全等的正方形ABCD、ABEF不在同 一平面内,M、N是对角线AC、BF的中点 求证：MN ∥面BCE 分析：连接AE,CE 由M、N是中点知： MN ∥ CE D A N M C B F E 所以： MN ∥面BCE P Q 4.M、N 是AC，BF上的点且AM=FN D A N M C B F E MP = NQ MP ∥ NQ 求证：MN ∥面BCE 线面平行 线线平行 1.三角形中位线 2.平行四边形对边 3.平行线分线段对应成比例 4.平行公理 练习1　 P是平行四边形ABCD所在平面外一点， Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ. 练习2：正四棱锥P－ABCD的各棱长都是13,M、N分别是PA和BD上点，且PM︰MA＝BN:ND＝5︰8，求证MN∥平面PBC. E F [解析]　在平面PAB内过M作ME∥AB交PB于E，在平面BCD内过N作NF∥DC交BC于F，连EF，可得ME∥NF. ∴ME＝NF，∴MNFE是平行四边形， ∴MN∥EF， ∵MN?平面PBC，EF?平面PBC， ∴MN∥平面PBC. 练习3：如下图，三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点．求证AB1∥平面BC1D. O 练习4：以下图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC.A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，C1C＝3.设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1. [证明]　作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D. 那么OD∥BB1∥CC1. 因为O是AB的中点， 所以OD＝ (AA1＋BB1)＝3＝CC1. 那么ODC1C是平行四边形， ∴OC∥C1D， ∵C1D?平面C1B1A1且OC?平面C1B1A1， ∴OC∥面A1B1C1. 一、选择题 1．(09·江西文)如图，在四面体ABCD中，假设截面PQMN是正方形，那么在以下命题中，错误的为 (　　) A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝BD D．异面直线PM与 BD所成的角为45° [答案]　C [解析]　由PQ∥AC，QM∥BD，以及PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；又由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故D正确，综上可知C错误． 3．如图，A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC的中点． 证明：AB1∥平面DBC1. [证明]　∵A1B1C1－ABC是正三棱柱， ∴四边形B1BCC1是矩形． 连接B1C交BC1于点E，那么B1E＝EC. 在△AB1C中，∵AD＝DC，∴DE∥AB1. 又AB1?平面DBC1，DE?平面DBC1， ∴AB1∥平面DBC1. 第二章